[논문 리뷰] Adaptive Multi-rate Wavelet Method for Circuit Simulation

Kai Bittner, Hans Georg Brachtendorf|Brno University of Technology Digital Library (Brno University of Technology)|2016. 04. 25.

Image and Signal Denoising Methods인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 스퍼링 웨이블릿을 사용하여 신호 특성에 따라 시간 격자를 동적으로 정밀화함으로써 효율적인 RF 회로 시뮬레이션을 위한 적응형 다중 속도 웨이블릿 방법을 제안한다. 다중 속도 편미분대수방정식(MPDAEs)으로 회로 DAE를 재구성하고, 로테의 방법과 갈레르킨 이산화를 적용함으로써 적응형 주파수 추정을 통해 큰 시간 단계를 허용하는 방법을 개발하여 믹서 및 PLL과 같은 기준 회로에서 전이 시뮬레이션 대비 최대 33배의 속도 향상을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper a new adaptive algorithm for multi-rate circuit simulation encountered in the design of RF circuits based on spline wavelets is presented. The circuit ordinary differential equations are first rewritten by a system of (multi-rate) partial differential equations (MPDEs) in order to decouple the different time scales. Second, a semi-discretization by Rothe's method of the MPDEs results in a system of differential algebraic equations (DAEs) with periodic boundary conditions. These boundary value problems are solved by a Galerkin discretization using spline functions. An adaptive spline grid is generated, using spline wavelets for non-uniform grids. Moreover the instantaneous frequency is chosen adaptively to guarantee a smooth envelope resulting in large time steps and therefore high run time efficiency. Numerical tests on circuits exhibiting multi-rate behavior including mixers and PLL conclude the paper.

연구 동기 및 목표

• 넓은 시간 스케일 간격을 가진 RF 회로에서 표준 전이 시뮬레이션의 계산 비효율성을 해결하기 위해.
• 펄스 형태의 신호를 표현할 때 삼각함수 기저 함수의 한계를 극복하고 기브스 현상 방지를 위해.
• 급격한 전이 현상을 포착하면서도 매끄러운 영역에서는 자유도를 최소화하는 적응형 격자 정밀화 방법을 개발하기 위해.
• 기본 주파수가 알려지지 않거나 시간에 따라 변하는 혼합기, PLL, 발진기와 같은 다중 속도 회로를 효율적으로 시뮬레이션할 수 있도록 하기 위해.
• 적응형 웨이블릿 기반 격자와 순간 주파수 추정을 조합하여 높은 런타임 효율성을 달성하기 위해.

제안 방법

• 빠른 동역학과 느린 동역학을 분리하기 위해 회로 DAE를 다중 속도 편미분대수방정식(MPDAEs) 시스템으로 재구성한다.
• 로테의 방법을 적용하여 빠른 시간 변수 τ에서 MPDAEs를 반분산화함으로써 시간 t에서 주기적 경계값 DAE로 변환한다.
• 스플라인 함수를 사용한 갈레르킨 이산화를 통해 유도된 주기적 DAE를 해결함으로써 적응형 스플라인 웨이블릿을 통한 국소적 정밀화를 가능하게 한다.
• 순간 주파수 추정 ω(τ)을 동적으로 조정하여 매끄러운 에너지 레벨을 확보함으로써 큰 시간 단계와 계산 비용 절감을 가능하게 한다.
• 스플라인 웨이블릿을 사용하여 비균일한 적응형 스플라인 격자를 생성함으로써 전이 위치에 해상도를 집중시키고 매끄러운 영역에서는 해상도를 낮춘다.
• B-스플라인의 국소적 지지 특성을 활용하여 효율적인 국소 정밀화와 스펙트럼 계산을 실현함으로써 수치적 안정성과 수렴성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일하거나 삼각함수 기저 방법에 비해 적응형 스플라인 웨이블릿 기반 격자 정밀화는 다중 속도 회로 시뮬레이션의 효율성과 정확도를 향상시키는가?
• RQ2 적응형 주파수 추정과 동적 격자 정밀화는 믹서나 PLL과 같은 RF 회로에서 급격한 전이 현상을 얼마나 효과적으로 포착하는가?
• RQ3 기본 주파수가 알려지지 않거나 시간에 따라 변하는 회로, 예를 들어 자율 발진기와 같은 경우 이 방법이 시뮬레이션 시간을 얼마나 줄일 수 있는가?
• RQ4 전이 시뮬레이션 대비 에너지 레벨 시간 단계 수를 크게 줄이면서도 높은 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ5 PLL이나 콜피츠 발진기와 같은 시스템에서 전이 시작 단계 동안 신호 특성이 변화함에 따라 적응형 웨이블릿 격자는 어떻게 반응하는가?

주요 결과

• 기블러 믹서의 경우 전이 시뮬레이션 대비 8분에서 10초로 시뮬레이션 시간을 단축하여 48배의 속도 향상을 달성했다.
• 3MHz 콜피츠 발진기의 경우 10초 내로 시뮬레이션을 완료했고, 에너지 레벨 단계는 202개였으며, 전이 시뮬레이션은 165분이 소요되어 비교적 긴 시간이 걸렸다.
• PLL 시뮬레이션은 에너지 레벨 시간 단계 160개와 7분의 계산 시간으로 완료되었고, 전이 시뮬레이션은 33시간이 소요되어 280배의 속도 향상을 기록했다.
• 적응형 격자는 점프 불연속성과 전이 경계, 예를 들어 콜피츠 발진기에서 0.24μs에 위치한 날카운 전이 모서리에 정밀화를 성공적으로 집중시켰으며, 시간이 지남에 따라 격자 변화가 최소화되었다.
• PLL에서 추정된 순간 주파수는 기저대역 신호를 정확히 따라가며, 에너지 레벨 표현의 정확성과 안정적인 수렴을 확인했다.
• 혼합기, 발진기, PLL을 포함한 다양한 다중 속도 회로에서 이 방법은 일관된 효율성 향상과 정확한 전이 포착 능력을 보이며 강력한 성능을 입증했다.