[논문 리뷰] Addendum to : Orthonormal bases of regular wavelets in spaces of homogeneous type

Pascal Auscher, Tuomas Hytönen|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 26.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 2인용 수 9

한 줄 요약

이 보충문서는 원본 논문의 제4.5조에서 주장한 바와 같이 $ L^p(u) $에서 허더-연속 함수의 조밀성은 '보렐 측도'의 정의에 따라 결정되며, 표준적인 $ \sigma $-가환 보렐 측도의 경우 결과가 성립하지만, 외측 측도 또는 더 넓은 $ \sigma $-대칭에서 $ \sigma $-가환성을 갖는 측도의 경우 추가적인 정규성 조건—즉, 모든 $ \nu $-가측 집합이 동일한 측도를 갖는 보렐 집합에 포함되어야 한다—이 필요하다. 이 조건은 웨이블릿 표현이 $ 1 < p < \infty $에서 $ L^p $에서 유효하게 유지되도록 보장한다.

ABSTRACT

We bring a precision to our cited work concerning the notion of "Borel measures", as the choice among different existing definitions impacts on the validity of the results.

연구 동기 및 목표

• 원본 논문에서 사용된 '보렐 측도'의 정의에 대한 모호함을 해결하여 핵심 결과의 타당성에 영향을 미치는 바를 밝히기 위해.
• 제4.5조의 조밀성 결과가 측도가 보렐 $ \sigma $-대칭에서 $ \sigma $-가환성으로 정의되는지, 아니면 외측 측도로 정의되는지에 따라 달라지는 것을 확인하기 위해.
• 측도 $ \mu $가 외측 측도 또는 더 큰 $ \sigma $-대칭에서 정의될 경우, 웨이블릿 표현 결과가 유지되기 위해서는 정규성 조건—모든 $ \mu $-가측 집합 $ A $에 대해 어떤 보렐 집합 $ B \supseteq A $가 존재하여 $ \mu(A) = \mu(B) $가 되도록—이 필수적임을 규명하기 위해.
• 이러한 정규성 조건이 없을 경우, 올바른 결론은 유계 지지 집합을 가진 허더-연속 함수가 보렐 가측 대표자를 갖는 $ L^p $ 함수의 부분공간에서 조밀하다는 것이다.
• 공간의 동질성에서 다양한 측도 이론적 가정 하에 웨이블릿 기저의 일致성과 정확성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 문헌에서 '보렐 측도'의 정의가 다양하게 사용되는 영향을 분석하며, 특히 보렐 $ \sigma $-대칭에서의 $ \sigma $-가환 측도와 외측 측도를 구분하기 위해.
• 카라테오도리의 확장 조건을 검토하여 $ \mu $-가측 집합이 동일한 측도를 갖는 보렐 집합으로 근사 가능한지 판단하기 위해.
• 제4.5조의 증명을 재검토하여 정규성 가정이 허더-연속 함수의 조밀성에 있어 필수적인 이유를 규명하기 위해.
• 모든 $ \mu $-가측 집합 $ A $에 대해 $ \mu(A) = \mu(B) $를 만족하는 보렐 집합 $ B \supseteq A $가 존재하도록 정규성 조건을 도입하여, 외측 측도 설정에서 증명이 유지되도록 보장하기 위해.
• 외측 측도로서 정의된 '정규 보렐 외측 측도' 개념을 [3]에서 정의된 바와 같이 사용하여, 모든 $ \mu $-가측 집합에서 이 조건이 성립하도록 보장하기 위해.
• 웨이블릿 표현이 $ 1 < p < \infty $에서 유효하기 위해서는 정규성 가정 하에 함수의 보렐 가측 대표자가 있어야 함을 규명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제4.5조에서 언급한 바와 같이 $ L^p $에서 허더-연속 함수의 조밀성은 '보렐 측도'의 모든 정의에서 성립하는가?
• RQ2 외측 측도 또는 비보렐 $ \sigma $-대칭에서의 측도 설정 하에서 원래 증명의 타당성을 보장하기 위해 필요한 측도 이론적 조건은 무엇인가?
• RQ3 측도 정의의 선택이 동질 공간에서 웨이블릿 표현의 타당성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 주어진 측도 하에서 보렐 가측 대표자를 갖는 $ L^p $ 함수의 공간이 $ L^p $에서 조밀해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 측도가 카라테오도리의 의미에서 정규적이지 않을 경우 원래 웨이블릿 구성 결과는 유지될 수 있는가?

주요 결과

• 측도 $ \mu $가 보렐 $ \sigma $-대칭에서 $ \sigma $-가환성인 경우 제4.5조의 원래 결과는 성립하며, 이는 보렐 집합과 가측 집합이 일치하기 때문이다.
• $ \mu $가 외측 측도이거나 더 큰 $ \sigma $-대칭에서 $ \sigma $-가환성인 경우, 증명은 모든 $ \mu $-가측 집합이 동일한 측도를 갖는 보렐 집합에 포함되어야 한다는 추가 가정이 필요하다.
• 이러한 정규성 조건이 없을 경우, 올바른 결론은 지지 집합이 유계인 허더-연속 함수가 보렐 가측 대표자를 갖는 $ L^p $ 함수의 부분공간에서 조밀하다는 것이다.
• 정규성 조건이 가정되지 않은 경우 웨이블릿 표현 결과는 $ 1 < p < \infty $에서 유효하지만, 이는 오직 이 부분공간의 함수들에 대해서만 성립한다.
• 중요한 차이점은, 정규성이 없을 경우 웨이블릿 기저가 모든 $ L^p $ 함수를 표현하지 못하고 오직 보렐 가측 대표자를 갖는 함수들만 표현할 수 있다는 것이다.
• 이 논문은 표준적인 보렐 측도 정의 하에서 원래 결과가 올바르게 기술되어 있음을 확인하지만, 더 일반적인 측도 이론적 환경에서는 명시적인 정규성 가정이 필요하다는 점을 강조한다.