[논문 리뷰] Addendum to " Sum rules via large deviations "

Fabrice Gamboa, Jan Nagel외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 04.

Random Matrices and Applications참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼 측도에 대한 대 deviations 원리(LDPs)의 증명에서 발생하는 격차를 해결하기 위해, 볼록 비용 함수를 갖는 LDP와 비볼록 비용 함수를 갖는 LDP를 결합하는 일반적인 정리를 도입한다. 이 방법은 공동 모멘트 생성 함수 수렴과 노출된 점 조건에 기반하며, 볼록성이 없는 개별 비용 함수가 존재하는 경우에도 스펙트럼 행렬 측도와 단위 원주 위의 스펙트럼 측도에 대한 공동 LDP를 도출할 수 있게 한다.

ABSTRACT

In these notes we fill a gap in a proof in Section 4 of Gamboa, Nagel, Rouault [Sum rules via large deviations, J. Funct. Anal. 270 (2016), 509-559]. We prove a general theorem which combines a LDP with a convex rate function and a LDP with a non-convex one. This result will be used to prove LDPs for spectral matrix measures and for spectral measures on the unit circle.

연구 동기 및 목표

• Gamboa, Nagel, and Rouault (2016)에서 스펙트럼 측도에 대한 대 deviations 원리(LDPs)의 증명에서 발생하는 격차를 보완하기 위해.
• 볼록 비용 함수와 비볼록 비용 함수를 갖는 LDP를 결합하는 일반적인 프레임워크를 수립하기 위해.
• 기존 방법이 비볼록 비용 함수로 인해 실패하는 바탕에서, 스펙트럼 행렬 측도와 단위 원주 위의 스펙트럼 측도에 대한 공동 LDP를 증명할 수 있도록 하기 위해.
• 원래의 맥락을 초월하여 일반적으로 사용 가능한 자가 포함된, 일반적인 목적의 정리를 제공하기 위해, 임의의 행렬 이론과 통계역학 분야에서의 잠재적 응용을 고려하여.

제안 방법

• 볼록 비용 함수를 갖는 LDP와 비볼록 비용 함수를 갖는 LDP를 결합하는 일반 정리(정리 3.1)를 도입한다.
• 공동 모멘트 생성 함수 수렴을 사용한다: lim_{n→∞} (1/n) log E[exp(n⟨x*,X_n⟩ + nφ(Y_n))] = G_X(x*) + J(φ) for x* ∈ D and φ ∈ C_b(Y).
• Bryc의 역 Varadhan 보조정리와 Baldi의 정리의 변형을 적용하여 비용 함수 G_X^*와 I_Y를 식별한다.
• 노출된 점에 대한 밀도 조건을 도입한다: G_X^*(x) < ∞인 모든 x는 γx_k^* ∈ D를 만족하는 노출된 점 x_k로 근사 가능하다. (γ > 1)
• 공동 LDP를 (X_n, Y_n)에 대해 수립하며, 양호한 비용 함수 I(x,y) = G_X^*(x) + I_Y(y)를 갖는다. 여기서 I_Y(y) = sup_φ {φ(y) - J(φ)}.
• 절단된 고유값과 컴acts 구간 위의 측도 맥락에서 모멘트 생성 함수 수렴과 노출된 점 조건을 확인함으로써, 이 정리를 스펙트럼 측도에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 변량의 비용 함수가 비볼록일 경우, 표준 공동 LDP 증명 방법이 실패하는 상황에서, 두 개의 랜덤 변수에 대한 대 deviations 원리(LDP)를 확립할 수 있는가?
• RQ2 공동 모멘트 생성 함수 수렴을 통해 볼록 비용 함수와 비볼록 비용 함수를 갖는 LDP를 결합할 수 있는가?
• RQ3 비볼록성으로 인해 볼록성이 없는 성분이 존재할 때, 공동 LDP 비용 함수가 여전히 양호하고 식별 가능한 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 노출된 점 근사 기법을 통해 비볼록 비용 함수를 갖는 LDP 결과를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 이 일반적 프레임워크는 스펙트럼 행렬 측도와 단위 원주 위의 스펙트럼 측도에 대한 LDP를 증명하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 비볼록일 수 있는 I_M,λ^±조차도, (μ̃_I^(n), λ_M^±)에 대한 공동 LDP가 양호한 비용 함수 I(μ,λ) = G^*(μ) + I_M,λ^±(λ)를 갖는다.
• Gamboa, Nagel, and Rouault (2016)의 정리 4.2의 증명이 정리 3.1의 조건, 특히 노출된 점 근사 조건을 확인함으로써 완성된다.
• 공동 모멘트 생성 함수는 lim_{n→∞} (1/n) log E[exp(n∫fdμ̃_I^(n) + nφ(λ_M^±))] = G(f) + J(φ)로 수렴하며, 여기서 G(f) = -∫log(1-f)dμ_V이다.
• G^*(μ) < ∞인 모든 측도 μ는 엄밀히 양의 연속 밀도를 갖는 측도로 약한 수렴으로 근사 가능하므로, 노출된 점 조건이 충족된다.
• 비용 함수 G^*는 조밀한 측도 집합 위에서 엄격히 볼록하지만, 주요 결과는 이중 비용 함수 H^*가 비볼록일 경우에도 성립한다.
• 이 방법은 고전적 볼록성 가정이 실패하는 상황에서, 대 deviations 이론의 적용 범위를 스펙트럼 측도로 성공적으로 확장한다.