[논문 리뷰] Adding high powered relations to large groups

Marc Lackenby|ArXiv.org|2005. 12. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 유한 생성 대규모 군 $G$ 와 그의 원소들 $g_1, \dots, g_r \in G$ 에 대해, 몫 $G / \langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ 가 무한히 많은 정수 $n$ 에 대해 여전히 대규모 군임을 증명한다. 특히 유한 지수 정규부분군 $H$ 가 비아벨 자유군으로 사영되는 경우, $n$ 이 $[G:H]$ 의 충분히 큰 배수일 때 성립한다. 이 결과는 자유군의 경우로 확장되며, 이 경우 대규모 성질은 유한 개를 제외한 모든 $n$ 에 대해 성립한다. 이는 3차원 다면체 위상수학, 특히 딜 쇄기와 관련하여 강력한 응용을 가진다. 특히, 한 번의 쇄기에서 대규모 성질이 유지되면, 그 성질이 무한히 많은 쇄기 기울기들에 걸쳐도 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

A group is known as `large' if some finite index subgroup admits a surjective homomorphism onto a non-abelian free group. The main theorem of the paper is as follows. Let G be a finitely generated, large group and let g_1,...,g_r be a collection of elements of G. Then G/<> is also large, for infinitely many integers n. Furthermore, when G is free, this holds for all but finitely many n. These results have the following application to Dehn surgery. Let M be a compact orientable 3-manifold with boundary a torus. Suppose that the 3-manifold obtained by Dehn filling some slope on the boundary has large fundamental group. Then this is true for infinitely many filling slopes.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 대규모 군의 원소들에 대해 고차수의 몫을 취할 때 대규모 성질이 유지되는 조건을 규명하는 것.
• 특히 군 이론과 3차원 다면체 위상수학의 맥락에서, 고차수의 몫을 취할 때의 초평면성과 대규모 성질의 보존에 관한 기존 결과를 확장하는 것.
• 커버링 공간 이론과 코homology 기준을 이용한 대규모 성질의 위상수학적 증명을 제공하며, 특히 Theorem 1.3의 코homology 사상에 기반한다.
• 주요 결과를 딜 쇄기에 적용하여, 한 번의 딜 쇄기에서 기본군이 대규모일 경우, 그와 유사한 성질이 무한히 많은 쇄기 기울기들에 걸쳐도 유지됨을 보이는 것.

제안 방법

• 자연스럽게 자유군이 원소들의 집합으로 이루어진 원환면의 기본군으로 표현되며, $g_i^n$ 을 나타내는 고리에 2세포를 붙여 2-複體를 구성한다.
• Theorem 1.3 을 적용한다. 이는 대규모 성질에 대한 코homology 기준을 제공한다: 만약 포함 유도 사상이 $H^1(-; \mathbb{F}_p)$ 에서 단사가 아니며, $p=2$ 일 경우 차원 조건을 만족하면, 기본군은 대규모이다.
• 유한 지수 부분군을 통해 대규모 군 $G$ 를 자유군에 매립하고, 원소들의 거듭제곱 사상에 따른 이미지를 분석함으로써 Theorem 1.1 을 Theorem 1.2 로 환원한다.
• 3차원 다면체의 링크에 대한 딜 쇄기의 구조를 활용하며, 결과적으로 얻어진 다면체의 기본군을 원래 군의 몫으로 표현한다. 이는 고리와 쇄기 기울기와 관련된 관계를 포함한다.
• 고리와 쇄기 기울기 사이의 거리 $\Delta(\mu_i, s_i)$ 를 이용해 몫에서의 거듭제곱 지수를 제어하며, 위상수학적 거리와 대수적 대규모 성질을 연결한다.
• Theorem 1.1 을 몫 군 $\pi_1(M)/\langle\!\langle \lambda_1^N, \dots, \lambda_r^N \rangle\!\rangle$ 에 적용하여, 무한히 많은 $N$ 에 대해 이 군이 대규모임을 보여주며, 따라서 결과적으로 얻어진 기본군도 대규모임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 대규모 군의 원소들에 대해 고차수의 몫을 취할 때 대규모 성질이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 자유군에서 $F/\langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ 가 모든 유한한 $n$ 을 제외한 나머지 $n$ 에 대해 대규모임을 보이는 결과는 일반적인 대규모 군으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 한 번의 쇄기에서 기본군이 대규모일 경우, 3차원 다면체의 무한히 많은 딜 쇄기들에 걸쳐 그 성질이 유지되는가?
• RQ4 어떤 위상수학적 또는 대수적 조건이 딜 쇄기로 얻어진 3차원 다면체의 기본군이 여전히 대규모임을 보장하는가?

주요 결과

• 임의의 유한 생성 대규모 군 $G$ 와 원소들 $g_1, \dots, g_r$ 에 대해, 몰입 $G / \langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ 는 무한히 많은 정수 $n$ 에 대해 대규모 군이다. 특히 유한 지수 정규부분군 $H$ 가 비아벨 자유군으로 사영되는 경우, $n$ 이 $[G:H]$ 의 충분히 큰 배수일 때 성립한다.
• 유한 생성 비아벨 자유군 $F$ 의 경우, 몰입 $F / \langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ 는 모든 유한한 $n$ 을 제외한 나머지 $n$ 에 대해 대규모이다. 이는 일반적인 경우보다 더 강력한 결과이다.
• Theorem 1.1 은 $S^3$ 에서의 뭉치 $K$ 에 대해, 무한히 많은 $n$ 에 대해 $n$-중 순환 분할 덮개의 기본군이 대규모임을 보임을 암시한다. 이는 모든 $n$ 에 대해 성립하지는 않지만, 여전히 중요한 결과이다.
• Theorem 3.1 은 $M$ 이 컴acts이고 올림이 있는 3차원 다면체이며 기본군이 대규모일 때, $M$ 에서의 링크 $L$ 에 대해, $\Delta(\mu_i, s_i)$ 가 고정된 $N$ 으로 나누어지는 기울기 $s_i$ 에 대해 딜 쇄기를 수행하면, 무한히 많은 기울기 조합들에 대해 결과 다면체의 기본군이 대규모임을 보임을 증명한다.
• Theorem 1.5 는 다음과 같이 유도된다: 만약 토로이드 경계를 가진 3차원 다면체의 한 딜 쇄기에서 기본군이 대규모일 경우, 이 성질은 무한히 많은 서로 다른 기울기 조합들에 대해 유지된다.