[논문 리뷰] Adding integral action for open-loop exponentially stable semigroups and application to boundary control of PDE systems

Alexandre Terrand-Jeanne, Vincent Andrieu외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 08.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 개방 루프 시스템이 지수 안정성을 가지는 무한차원 시스템에서 지수 출력 조절을 달성하는 이중 제어기 기반 설계 방법을 제안한다. 전파 기법을 사용하여 새로운 라플라스 함수를 구성함으로써, 이중 이득 선택에 대한 명시적 조건을 수립하여 유한한 제어 또는 측정 연산자를 요구하지 않는 강건한 조절을 가능하게 한다. 이는 포물형 및 쌍곡형 PDE 시스템에 적용되었으며, 닫힌 루프 시스템의 지수 안정성이 보장된다.

ABSTRACT

The paper deals with output feedback stabilization of exponentially stable systems by an integral controller. We propose appropriate Lyapunov functionals to prove exponential stability of the closed-loop system. An example of parabolic PDE (partial differential equation) systems and an example of hyperbolic systems are worked out to show how exponentially stabilizing integral controllers are designed. The proof is based on a novel Lyapunov functional construction which employs the forwarding techniques.

연구 동기 및 목표

• 개방 루프 시스템이 지수 안정성을 가지는 무한차원 시스템에 대해 이중 제어를 사용한 출력 조절 문제를 다루는 것.
• 이중 제어가 작동하는 닫힌 루프 시스템의 지수 안정성을 보장하는 라플라스 함수 구성 방법을 개발하는 것.
• 분포 매개변수 시스템의 조절 문제에서 표준적인 유한한 제어 및 측정 연산자 가정을 완화하는 것.
• 기존의 쌍곡형 PDE 시스템 경계 제어 결과를 통합하는 라플라스 기반 프레임워크로 일반화하는 것.
• 지수 안정성과 출력 조절을 보장하는 데 필요한 이중 이득 $ k_i $ 및 제어기 행렬 $ K_i $ 를 명시적으로 결정하는 것.

제안 방법

• 확장된 상태공간 $ \mathcal{X}_e = \mathcal{X} \times \mathbb{R}^m $ 에 대해 새로운 라플라스 함수를 구성하며, 상태와 이중 오차를 포함한다.
• 전방 기법(forwarding technique)을 적용하여 라플라스 함수를 설계함으로써, 이중 제어가 작동하는 닫힌 루프 시스템의 동역학을 반영한다.
• 제어 연산자에 대한 유계성 조건을 부과하고, 측정 연산자의 적합성(admissibility)을 가정하여 잘 정의된 문제와 안정성을 확보한다.
• 라플라스 함수의 시간 도함수를 분석함으로써 지수 안정성을 위한 충분조건을 도출한다.
• 에너지 추정과 부분적 적분을 사용하여 추상 카우시 문제 및 경계 제어 쌍곡형 PDE 시스템에 이 방법을 적용한다.
• 안정성 부등식을 통해 이중 이득 $ k_i $ 와 제어기 행렬 $ K_i $ 를 명시적으로 계산하며, 지수 안정성을 보장하는 상한으로서 $ k_i^* $ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 제어 연산자 가정 없이, 개방 루프 시스템이 지수 안정성을 가지는 추상 카우시 문제에 대해 이중 제어가 작동하는 닫힌 루프에서 라플라스 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 지수 안정성과 출력 조절을 보장하기 위해 이중 이득 $ k_i $ 와 제어기 행렬 $ K_i $ 를 어떻게 명시적으로 결정할 수 있는가?
• RQ3 제안된 라플라스 기반 방법을 경계 제어가 있는 쌍곡형 PDE 시스템에 확장하여 기존 결과를 일반화할 수 있는가?
• RQ4 시스템 연산자에 어떤 조건이 부여되어야 이중 제어 하에서 닫힌 루프 시스템이 잘 정의되고 지수 안정성을 유지하는가?
• RQ5 이 방법은 측정 연산자가 유한하지 않아도 상수 외란이 존재하는 상황에서도 조절이 가능하게 하는가?

주요 결과

• 이중 제어가 작용하는 닫힌 루프 시스템에 대해 새로운 라플라스 함수를 구성하였으며, 제어 및 측정 연산자에 대한 온건한 가정 하에서 지수 안정성을 보장한다.
• 지수 안정성을 보장하는 최대 허용 이중 이득 $ k_i^* = \frac{\sqrt{\mu \underline{P}}}{|M| \overline{\Psi} \sqrt{c |T_2^{-1}|}} $ 에 대한 명시적 표현을 제공한다.
• 이 방법은 제어 또는 측정 연산자의 유한성 가정이 필요 없게 하여 더 광범위한 PDE 시스템에 적용 가능성을 넓힌다.
• 쌍곡형 PDE 시스템의 경우, 파동 방정식 및 운반 방정식에 대한 기존 결과를 일반화하고 통합하는 데 성공하였다.
• 부분적 적분과 에너지 추정에 기반한 증명 기법은 경계 결합 및 PDE 맥락에서의 비연속 해를 다룰 수 있도록 한다.
• 이 방법은 일정한 외란이 존재하더라도 조절된 출력이 지수적으로 참조값으로 수렴함을 보장하며, 수렴 속도에 대한 명시적 상한을 제공한다.