[논문 리뷰] Addition and Differentiation of ZX-Diagrams

Emmanuel Jeandel, Simon Perdrix외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Advanced Database Systems and Queries인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 파라미터화된 양자 회로에서 도함수를 완전히 다이어그램적으로 계산할 수 있도록 하는 인도적 방법을 도입한다. 제어 상태와 인도적 재작성 규칙을 활용하여 형식적 합계 없이도 파라미터화된 ZX-다이어그램의 도함수를 계산할 수 있도록 하며, QAOA 및 VQE와 같은 변량 양자 알고리즘에 직접 적용 가능하다.

ABSTRACT

The ZX-calculus is a powerful framework for reasoning in quantum computing. It provides in particular a compact representation of matrices of interests. A peculiar property of the ZX-calculus is the absence of a formal sum allowing the linear combinations of arbitrary ZX-diagrams. The universality of the formalism guarantees however that for any two ZX-diagrams, the sum of their interpretations can be represented by a ZX-diagram. We introduce a general, inductive definition of the addition of ZX-diagrams, relying on the construction of controlled diagrams. Based on this addition technique, we provide an inductive differentiation of ZX-diagrams. Indeed, given a ZX-diagram with variables in the description of its angles, one can differentiate the diagram according to one of these variables. Differentiation is ubiquitous in quantum mechanics and quantum computing (e.g. for solving optimization problems). Technically, differentiation of ZX-diagrams is strongly related to summation as witnessed by the product rules. We also introduce an alternative, non inductive, differentiation technique rather based on the isolation of the variables. Finally, we apply our results to deduce a diagram for an Ising Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• ZX-계산법에서 형식적 합계 연산의 부재로 인해 파라미터화된 양자 회로의 미분이 어렵다는 문제를 해결한다.
• QAOA 및 VQE와 같은 변량 양자 알고리즘에 대해 다이어그램적 도함수 계산을 가능하게 하며, 여기서 파라미터 최적화가 도함수에 의해 필수적으로 요구된다.
• 형식적 합계나 다이어그램의 집합을 사용하지 않고도 ZX-다이어그램의 도함수를 다른 ZX-다이어그램으로 표현하는 방법을 개발한다.
• ZX-계산법의 그래픽적 성격을 유지하면서도 덧셈과 도함수 계산을 위한 구축적이고 인도적인 프레임워크를 제공한다.
• 등장하는 Ising 해밀토니안의 지수 단위 유니터리 진화로부터 다이어그램을 유도함으로써 방법의 유용성을 입증한다.

제안 방법

• 제어 상태를 기반으로 한 ZX-다이어그램에 대한 인도적 덧셈 절차를 도입한다. 제어 상태는 합계를 지원하는 것으로 알려져 있다.
• 제어 상태를 사용하여 임의의 ZX-다이어그램을 인도적으로 표현함으로써, 제어 상태의 덧셈을 통해 어떤 두 다이어그램의 합계도 가능하게 한다.
• 직접적으로 곱의 법칙(∂(fg) = ∂f·g + f·∂g)을 다이어그램 형태로 표현함으로써 인도적 도함수 규칙을 유도한다.
• 각각의 각도가 매개변수 β에 대해 선형적으로 의존하는 선형 ZX-다이어그램 ZX(β)의 가족에 대해 도함수 계산을 적용한다.
• 다이어그램 내에서 변수 의존 성분을 분리하는 방식으로, 비인도적 도함수 기법을 제안한다.
• 스톤의 정리를 사용하여 유니터리 진화 다이어그램의 도함수로부터 해밀토니안을 재구성함으로써 다이어그램적 해밀토니안 합성 기능을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 두 개의 임의의 ZX-다이어그램의 합을 완전히 ZX-계산법 내에서 정의하고 계산할 수 있는가?
• RQ2 파라미터화된 ZX-다이어그램의 도함수는 형식적 합계를 피하면서도 단일 ZX-다이어그램으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 도함수의 곱의 법칙이 ZX-계산법 내에서 어떻게 다이어그램적으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 이 방법을 사용하여 지수 유니터리 진화로부터 해밀토니안 다이어그램을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 접근법은 변량 양자 알고리즘의 분석 및 최적화에 실질적인 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 두 개의 임의의 ZX-다이어그램을 제어 상태의 합계로 환원함으로써, 인도적 방법으로 완전히 덧셈을 수행할 수 있음을 보여준다.
• 파라미터화된 ZX-다이어그램의 도함수는 단일 ZX-다이어그램으로 표현 가능하며, 이는 완전한 다이어그램 계산을 가능하게 한다.
• 선형 다이어그램 가족 ZX(β)에 대해 도함수를 위한 명시적이고 단순한 공식이 도출되었으며, 이는 변량 회로 분석을 크게 단순화시킨다.
• 이 방법은 등장하는 Ising 해밀토니안을 그 지수 유니터리 진화의 도함수로부터 다이어그램적으로 재구성할 수 있도록 하며, 예제 6.3에서 이를 입증하였다.
• 이 방법은 ⟨ψ(β)|H|ψ(β)⟩ 및 그 도함수와 같은 표현을 ZX-계산법의 재작성 규칙을 사용하여 단순화할 수 있도록 하며, 완전한 다이어그램 최적화를 지원한다.
• 스톤의 정리를 통해 eiβH의 도함수로부터 H = Z₁ − Z₂ + Z₁Z₂의 해밀토니안을 도출함으로써 정확성을 검증하였다.