[논문 리뷰] Additional degrees of freedom associated with position measurements in non-commutative quantum mechanics

Christian M. Rohwer, Scholtz, FG|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 06.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비가환 양자역학에서 위치 측정을 위해서는 양자 상태를 완전히 기술하기 위해 공간 좌표 이외의 추가 자유도가 필요하다는 것을 보여준다. 정규분포 측정(POVMs)을 통한 약한 측정을 사용하여, 비국소적 스타곱 표현식은 추가 자유도를 도입함으로써 국소적 기술로 동등하게 대체될 수 있음을 보여주며, 이러한 추가 자유도는 물리적으로 의미가 있으며 게이지 불변 표현에서 유사한 성격을 띤다.

ABSTRACT

In this thesis we shall demonstrate that a measurement of position alone in non-commutative space cannot yield complete information about the quantum state of a particle. Indeed, the formalism used entails a description that is non-local in that it requires all orders of positional derivatives through the star product that is used ubiquitously to map operator multiplication onto function multiplication in non-commutative systems. It will be shown that there exist several equivalent local descriptions, which are arrived at via the introduction of additional degrees of freedom. Consequently non-commutative quantum mechanical position measurements necessarily confront us with some additional structure which is necessary to specify quantum states completely. The remainder of the thesis, will involve investigations into the physical interpretation of these additional degrees of freedom. For one particular local formulation, the corresponding classical theory will be used to demonstrate that the concept of extended, structured objects emerges quite naturally and unavoidably there. This description will be shown to be equivalent to one describing a two-charge harmonically interacting composite in a strong magnetic field found by Susskind. It will be argued that these notions also extend naturally to the quantum level, and constraints will be shown to arise there. A further local formulation will be introduced, with an interpretation in terms of objects located at a point with a certain angular momentum about that point. This again enforces the idea of particles that are not point-like. Both local descriptions make explicit the additional structure which is encoded more subtly in the non-local description. Additional degrees of freedom introduced by local descriptions may also be thought of as gauge degrees of freedom in a gauge-invariant formulation of the theory.

연구 동기 및 목표

• 최소 길이 척도로 인해 비가환 공간에서 위치 측정을 정의하는 데 발생하는 모호함을 해결하기 위해.
• 비가환 시스템에서 위치 측정만으로는 양자 상태를 완전히 재구성할 수 없다는 것을 보여주기 위해.
• 비가환 양자역학의 등가 국소적 기술을 개발하여 추가적인 구조적 자유도를 명시적으로 드러내기 위해.
• 이 추가 자유도를 물리적으로 해석하여, 확장된 물체 또는 내재된 각운동량과 연결시키기 위해.
• 이러한 자유도가 게이지 불변 표현에서 게이지 자유도로 이해될 수 있는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 양자 연산의 곱셈을 함수 곱셈으로 매핑하는 스타곱을 사용하여, 비국소적 위치 도함수의 모든 차수에 대한 의존성을 드러내는 비가환 양자역학의 위치 측정을 약한(비투사적) 측정을 통해 정형화한다.
• 스털프 곱을 사용하여 연산자 곱셈을 함수 곱셈으로 매핑함으로써, 모든 차수의 위치 도함수에 대한 비국소적 의존성이 드러나게 한다.
• 내부 구조나 각운동량과 같은 추가 자유도를 도입하여 등가 국소적 기술를 유도한다.
• 확장된, 조화적으로 상호작용하는 두 전하 시스템이 자연스럽게 나타나는 고전적 근사에서 분석한다.
• 입자가 점입자이지만 위치를 중심으로 고정된 각운동량을 갖는 두 번째 국소적 기술을 도입한다.
• 이론의 게이지 구조를 분석하여, 추가 자유도가 게이지 불변 프레임워크 내에서 게이지 자유도로 해석될 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 양자역학에서 위치 측정만으로는 양자 상태를 완전히 결정할 수 있는가?
• RQ2 위치 측정이 불완전할 경우 요구되는 추가 자유도의 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ3 비국소적 스타곱 표현식은 어떻게 국소적 기술로 대체될 수 있으며, 이로써 추가적인 구조가 명시적으로 드러나는가?
• RQ4 고전적 근사에서 이러한 추가 자유도는 확장된 물체 또는 내재된 각운동량과 대응하는가?
• RQ5 비가환 양자역학의 게이지 불변 표현에서 이러한 추가 자유도는 게이지 자유도로 이해될 수 있는가?

주요 결과

• 비가환 양자역학에서 위치 측정만으로는 스타곱에 의해 모든 차수의 위치 도함수에 대한 비국소적 의존성으로 인해 양자 상태를 완전히 재구성할 수 없다.
• 여러 가지 등가 국소적 기술이 존재하며, 각각 추가 자유도를 도입하여 숨겨진 구조를 명시적으로 드러낸다.
• 한 국소적 기술은 자연스럽게 확장된 구조적 물체의 고전적 그림을 이끌어내며, 강한 자기장에서 수스킨의 두 전하 조화계와 등가이다.
• 두 번째 국소적 기술은 위치를 중심으로 고정된 각운동량을 갖는 점입자로 기술되며, 양자 물체가 점입자가 아님을 강화한다.
• 추가 자유도는 게이지 불변 표현에서 게이지 자유도로 해석될 수 있다.
• 이러한 기술의 등가성은 추가적인 구조가 순수한 수학적 산물이 아니라 물리적으로 필수적임을 확인한다.