[논문 리뷰] Additive Complexity and the Roots of Polynomials Over Number Fields and p-adic Fields

J. Maurice Rojas|ArXiv.org|2002. 01. 16.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 5인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 수체수 및 p진수체 위의 단변수 다항식의 기하학적으로 고립된 근의 수에 대해, 입력 크기의 척도로 덧셈 복잡도를 사용하여 새로운 상계를 확립한다. 다항식의 유리수 근의 수는 최대 $15 + \sigma(f)^2(24.01)^{\sigma(f)}\sigma(f)!$로 제한되며, 이는 이전의 덧셈 복잡도 기반 상계를 크게 향상시키고, 다변수 체계 및 유한 확장으로까지 확장된다.

ABSTRACT

Consider any nonzero univariate polynomial with rational coefficients, presented as an elementary algebraic expression (using only integer exponents). Letting sigma(f) denotes the additive complexity of f, we show that the number of rational roots of f is no more than 15 + sigma(f)^2 (24.01)^{sigma(f)} sigma(f)!. This provides a sharper arithmetic analogue of earlier results of Dima Grigoriev and Jean-Jacques Risler, which gave a bound of C^{sigma(f)^2} for the number of real roots of f, for some constant C with 1

연구 동기 및 목표

• 수체수 및 p진수체 위의 다항식에 대해 소수항 이론의 효과적인 산술적 유사체를 개발하기 위해.
• 덧셈 복잡도를 복잡도 척도로 사용하여 단변수 및 다변수 다항식 체계의 기하학적으로 고립된 근의 수를 제한하기 위해.
• Lenstra 및 Grigoriev-Risler의 기존 상계를 단항 전개보다 더 효율적인 인코딩 방식으로 확장하기 위해.
• 차수나 계수 크기와는 무관하게 덧셈 복잡도에만 의존하는 근 수의 정량적 상계를 제공하기 위해.

제안 방법

• 다항식 $f$를 체 $\mathcal{L}$ 위에서 중첩된 대수적 표현을 사용해 표현하기 위해 필요한 덧셈과 곱셈의 최소 수인 덧셈 복잡도 $\sigma_{\mathcal{L}}(f)$를 정의한다.
• 이전 변수들의 곱의 선형 조합으로 형성되는 중간 변수 $X_i$를 이용한 다항식 표현의 재귀적 구성 방법을 사용한다.
• p진수체 및 수체수에서 근 수를 제한하기 위해 Khovanski의 소수항 정리의 산술적 유사체를 적용한다.
• 다변수 근 수 계산 문제를 $n+s$개 변수를 가진 변환된 체계에서 고립된 근을 세는 문제로 환원하며, 여기서 $s = \sigma_{\mathcal{L}}(F)$이다.
• 각 $\varepsilon_i \in \{0,1\}$에 대해 $\varepsilon_i X_{n+i} = \text{선형 조합의 곱}$ 형태의 체계에 대해 재귀적 근 수 계산 전략을 적용하여 고립된 근을 열거한다.
• 특수 상수 $B(\mathcal{L}, m, N)$ 및 $A(\mathcal{L}, \delta, m, N)$의 상계를 이용하여 $\sigma_{\mathcal{L}}(f)$에 대한 명시적 상계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p진수체 또는 수체수 위의 단변수 다항식의 기하학적으로 고립된 근의 수는 그 덧셈 복잡도에 의해 순수하게 제한될 수 있는가?
• RQ2 덧셈 복잡도는 실수 위의 소수항 이론과 유사하게 산술적 환경에서 근 수와 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 덧셈 복잡도에 대해 가장 날카로운 가능한 상계는 무엇이며, 이는 이전의 상계와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이러한 상계는 다변수 다항식 체계 및 $\mathbb{Q}_p$ 또는 $\mathbb{Q}$의 유한 확장으로까지 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 유리수 계수를 가진 영이 아닌 단변수 다항식 $f$의 유리수 근의 수는 최대 $15 + \sigma(f)^2(24.01)^{\sigma(f)}\sigma(f)!$로 제한되며, 이는 실수 소수항 상계의 날카로운 산술적 유사체를 제공한다.
• 모든 차수 $d$의 확장 $\mathcal{L}$에 대해 $\mathbb{Q}_p$ 위에서의 근 수는 $2^{O(\sigma_{\mathcal{L}}(f) \log(p^d \sigma_{\mathcal{L}}(f)))}$로 제한되며, $p$, $d$, $\sigma_{\mathcal{L}}(f)$를 포함한 명시적 공식이 존재한다.
• $\mathcal{L} = \mathbb{Q}_2$인 경우, $\sigma_{\mathcal{L}}(f)$가 각각 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$일 때 근 상계는 각각 $1$, $3$, $35$, $50195$, $6471489$이다.
• 결과는 다변수 체계로까지 확장된다: $\mathcal{L}^{n+s}$에서 기하학적으로 고립된 근의 수는 이항계수와 $B(\mathcal{L}, m, N)$에 대한 재귀적 상계를 포함하는 합으로 제한된다.
• 이 상계는 수체수에서 차수 제한된 근에 대해서도 성립하며, 다변수 Descartes의 법칙 유사체를 갖는 모든 체에 대해 이 방법이 적용 가능하다.
• 증명은 $B(\mathcal{L}, m, N)$ 및 $A(\mathcal{L}, \delta, m, N)$의 상계 향상으로 더 날카로운 상계를 얻을 수 있음을 보여주며, 향후 개선을 위한 길을 제시한다.