[논문 리뷰] Additive energy forward curves in a Heath-Jarrow-Morton framework

Fred Espen Benth, Marco Piccirilli외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 추가적이고 평균 회귀적인 역학을 사용하여 다중상품 에너지 선도 시장에 대한 Heath-Jarrow-Morton (HJM) 프레임워크를 개발한다. 이는 일반화된 측도 변화( Esscher 유형의 밀도와 확률적 Girsanov 커널을 포함)를 포함하는 상황에서 확률적 지수의 마틴갈 성질을 위한 必要하고 충분한 조건을 수립함으로써, 무위험가격 설정과 교차 상품의 공통적 통합성 및 일반화된 Lucia-Schwartz 역학의 명시적 모델링을 가능하게 한다.

ABSTRACT

One of the peculiarities of power and gas markets is the delivery mechanism of forward contracts. The seller of a futures contract commits to deliver, say, power, over a certain period, while the classical forward is a financial agreement settled on a maturity date. Our purpose is to design a Heath-Jarrow-Morton framework for an additive, mean-reverting, multicommodity market consisting of forward contracts of any delivery period. The main assumption is that forward prices can be represented as affine functions of a universal source of randomness. This allows us to completely characterize the models which prevent arbitrage opportunities: this boils down to finding a density between a risk-neutral measure $\mathbb{Q}$, such that the prices of traded assets like forward contracts are true $\mathbb{Q}$-martingales, and the real world probability measure $\mathbb{P}$, under which forward prices are mean-reverting. The Girsanov kernel for such a transformation turns out to be stochastic and unbounded in the diffusion part, while in the jump part the Girsanov kernel must be deterministic and bounded: thus, in this respect, we prove two results on the martingale property of stochastic exponentials. The first allows to validate measure changes made of two components: an Esscher-type density and a Girsanov transform with stochastic and unbounded kernel. The second uses a different approach and works for the case of continuous density. We apply this framework to two models: a generalized Lucia-Schwartz model and a cross-commodity cointegrated market.

연구 동기 및 목표

• 추가적이고 평균 회귀적인 역학을 갖는 다중상품 에너지 선도 및 스왑 시장에 대해 다룰 수 있고, 무위험가격 설정이 가능한 Heath-Jarrow-Morton 프레임워크를 개발한다.
• 실제 세계 측도 𝕄 하에서 평균 회귀를 보이지만, 선도 가격이 마틴갈이 되는 위험 중립 측도 ℚ로의 전환 문제를 해결한다.
• 선도 계약과 도착 기간 스왑(예: 전력 및 가스)을 동시에 수용하면서도 마코프성 또는 분포의 계산 용이성을 잃지 않는 통합 모델을 제공한다.
• 기존의 Lucia-Schwartz 모델을 일반화하고, 이를 다중상품 및 공통 통합된 환경으로 확장한다.
• 확률적 지수가 복잡하고 유계가 아닌 측도 변화( Esscher 및 Girsanov 성분을 모두 포함) 하에서도 마틴갈이 되는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 수립한다.

제안 방법

• 실제 세계 측도 𝕄 하에서 선도 및 스왑 가격을 공통의 난수 원천에 대한 애프린 함수로 모델링함으로써 평균 회귀성과 계산 용이성을 확보한다.
• 이중 구성 측도 변화를 적용: Esscher 유형의 밀도와 확률적이고 무한한 커널을 갖는 Girsanov 변환을 통해 위험 중립 측도 ℚ를 정의한다.
• 시리즈 표현과 모멘트 경계를 사용하여, 약한 Novikov 유형 조건을 통해 확률적 지수의 마틴갈 성질을 도출한다.
• Gronwall의 보조정리와 Itô 등식을 사용하여 상태 과정의 2차 모멘트를 제어함으로써 ℚ 하에서의 적분 가능성을 확보한다.
• 시간에 따라 변화하는 매개변수를 갖는 추가적 역학으로 일반화된 Lucia-Schwartz 모델을 구성한다.
• 교차 시장 매개변수 제약 조건을 도입하여 다중상품 공통 통합 모델을 구성함으로써, 무위험성과 평균 회귀성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한하고 확률적인 Girsanov 커널을 갖는 과정의 확률적 지수가 Esscher 유형의 밀도를 포함하는 측도 변화 하에서 진정한 마틴갈이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 추가적이고 평균 회귀적인 선도 곡선에 대해 선도 계약과 도착 기간 스왑을 동시에 수용할 수 있는 Heath-Jarrow-Morton 프레임워크는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 선도 가격이 ℚ-마틴갈이 되면서도 실제 세계 측도 𝕄 하에서 평균 회귀를 유지하는 위험 중립 측도 ℚ의 존재에 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 전력 및 가스와 같은 다양한 상품 간의 공통 통합성과 무위험 관계를 유지하면서 다중상품 에너지 마켓 모델을 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 Lucia-Schwartz 모델을 엄밀한 HJM 프레임워크 내에 통합하여 계산 용이성과 무위험성의 두 가지 조건을 동시에 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Esscher 유형의 밀도와 확률적·무한한 Girsanov 커널을 포함하는 측도 변화 하에서 확률적 지수의 마틴갈 성질을 보장하는 약한 Novikov 유형 조건을 증명한다.
• 시간 간격의 수열을 찾을 수 있다면, 각 간격에서의 분산 과정 제곱의 적분이 유한한 지수 모멘트를 갖는 한 마틴갈 성질이 유지됨을 수립한다.
• 이 모델 프레임워크는 공통 요인에 대한 애프린 의존성과 함께 추가적이고 평균 회귀적인 과정을 갖는 선도 및 스왑 가격 역학의 명시적 구성이 가능함을 보여준다.
• 일반화된 Lucia-Schwartz 모델은 제안된 HJM 프레임워크의 특수한 경우로 복구되며, 이를 통해 다중상품 및 도착 기간 설정으로의 적용 범위가 확장된다.
• 공통 통합 다중상품 모델은 장기 균형 관계를 유지하면서도 무위험성과 평균 회귀성을 유지하는 데 기여하는 매개변수 제약 조건을 도입함으로써 구성된다.
• 증명 기법은 Gronwall의 보조정리와 가우시안 모멘트 추정을 통한 모멘트 경계에 기반하며, 지수의 시리즈 표현의 적분 가능성과 수렴성을 보장한다.