[논문 리뷰] Additivity of higher rho invariants and nonrigidity of topological manifolds

Shmuel Weinberger, Zhizhang Xie외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 12.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 75인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 5차원 이상의 위상수학적 다양체에서 고차 rho 불변량의 가환성을 확립하여, 위상수학적 구조군에서 기하학적 C*-대수의 K-이론군으로의 군 준동형사상을 정의한다. 핵심 기여는 이러한 가환성을 이용해 기본군의 토퍼션 원소를 바탕으로 대수적으로 축소된 구조군의 자유 랭크에 하한을 구하고, 새로운 호모로지적 고차 rho 불변량을 통해 특정 다양체의 구조군이 유한 생성되지 않음을 보여주는 데 있다.

ABSTRACT

Let $X$ be a closed oriented connected topological manifold of dimension $n\geq 5$. The structure group of $X$ is the abelian group of equivalence classes of all pairs $(f, M)$ such that $M$ is a closed oriented manifold and $f\colon M o X$ is an orientation-preserving homotopy equivalence. The main purpose of this article is to prove that a higher rho invariant defines a group homomorphism from the topological structure group of $X$ to the $C^*$-algebraic structure group of $X$. In fact, we introduce a higher rho invariant map on the homology manifold structure group of a closed oriented connected $ extit{topological}$ manifold, and prove its additivity. This higher rho invariant map restricts to the higher rho invariant map on the topological structure group. More generally, the same techniques developed in this paper can be applied to define a higher rho invariant map on the homology manifold structure group of a closed oriented connected $ extit{homology}$ manifold. As an application, we use the additivity of the higher rho invariant map to study non-rigidity of topological manifolds. More precisely, we give a lower bound for the free rank of the $ extit{algebraically reduced}$ structure group of $X$ by the number of torsion elements in $π_1 X$. Here the algebraic reduced structure group of $X$ is the quotient of the topological structure group of $X$ modulo a certain action of self-homotopy equivalences of $X$. We also introduce a notion of homological higher rho invariant, which can be used to detect many elements in the structure group of a closed oriented topological manifold, even when the fundamental group of the manifold is torsion free. In particular, we apply this homological higher rho invariant to show that the structure group is not finitely generated for a class of manifolds.

연구 동기 및 목표

• 5차원 이상의 닫힘 양방향 위상수학적 다양체 $X$의 위상수학적 구조군 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$에서 고차 rho 불변량의 가환성을 확립한다.
• 고차 rho 불변량을 호모로지 다양체의 구조군에 대해 정의하여 위상수학적 경우를 일반화한다.
• 고차 rho 불변량의 가환성을 이용해 대수적으로 축소된 구조군의 자유 랭크에 하한을 구하고, 위상수학적 다양체의 비강성성을 탐지한다.
• 기본군이 토퍼션 자유일 때도 구조군의 원소를 탐지할 수 있는 새로운 호모로지적 고차 rho 불변량을 도입한다.
• 호모로지적 고차 rho 불변량을 사용하여 특정 위상수학적 다양체의 구조군이 유한 생성되지 않음을 증명한다.

제안 방법

• 고차 rho 불변량을 서브인덱스 이론적 불변량으로 정의하며, 이는 반대 방향을 가진 다양체들의 분리합집합에서의 서명 연산자의 고차 지수 클래스가 0으로 표준화된 경우에서 유래한다.
• 위상수학적 구조군 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$에서 기하학적 $C^*$-대수의 K-이론군 $K_n(C^*_L,0(\widetilde{X})^\Gamma)$로의 군 준동형사상을 구성한다. 여기서 $\widetilde{X}$는 기본 덮개이고 $\Gamma = \pi_1X$이다.
• 기하학적 $C^*$-대수와 주기성 사상 $\mathcal{GP}$를 사용하여, 역행렬 가능한 연산자와 호모토피 불변성을 통해 구조군을 K-이론 클래스와 연결한다.
• 주기성 공간의 기법을 적용하여 기하학적 주기성 사상 $\mathcal{GP}$가 고전적 Siebenmann 주기성 사상 $\mathcal{SP}$와 일치함을 증명함으로써, $\mathcal{S}^{TOP}(X)$의 군 구조의 일관성을 확보한다.
• 동일한 프레임워크를 사용하여 호모로지 다양체에 적용된 호모로지적 고차 rho 불변량을 정의함으로써, 기존 불변량을 초월한 구조군의 원소 탐지가 가능해진다.
• 정규화 함수와 대칭성을 통한 역행렬 가능한 연산자들의 경로를 구성하여 $K$-이론 클래스 $\rho(\theta \times \mathbb{R}^2)$를 표현하고, 이가 $\tau_*(\rho(\theta) \otimes \text{Ind}_L(\mathbb{R}^2))$ 와 같음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 rho 불변량은 5차원 이상의 닫힘 양방향 위상수학적 다양체 $X$의 위상수학적 구조군 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$에서 군 준동형사상으로 정의되는가?
• RQ2 고차 rho 불변량은 호모로지 다양체의 구조군으로 확장될 수 있으며, 이 경우에도 가환성이 성립하는가?
• RQ3 고차 rho 불변량과 $\pi_1X$의 토퍼션 원소를 사용하여 대수적으로 축소된 구조군의 자유 랭크에 어떤 하한을 구할 수 있는가?
• RQ4 기본군 $\pi_1X$가 토퍼션 자유일 때도 호모로지적 고차 rho 불변량은 비자명한 원소를 탐지할 수 있는가?
• RQ5 일부 위상수학적 다양체의 구조군은 유한 생성되지 않으며, 이는 호모로지적 고차 rho 불변량을 통해 탐지될 수 있는가?

주요 결과

• 고차 rho 불변량은 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$에서 $K_n(C^*_L,0(\widetilde{X})^\Gamma)$로의 군 준동형사상으로 정의되며, 이는 그 가환성을 확립한다.
• 고차 rho 불변량 사상은 위상수학적 구조군에서 표준 고차 rho 불변량으로 제한되며, 이는 그 정의역을 호모로지 다양체로 확장한다.
• 대수적으로 축소된 구조군의 자유 랭크에 대한 하한은 $\pi_1X$의 토퍼션 원소의 수에 의해 주어지며, 이는 비강성성의 장벽을 제공한다.
• 호모로지적 고차 rho 불변량은 $\pi_1X$가 토퍼션 자유일 때도 구조군의 비자명한 원소를 탐지할 수 있어, 불변량의 적용 범위를 확장한다.
• 일부 닫힘 양방향 위상수학적 다양체의 구조군은 유한 생성되지 않으며, 이는 호모로지적 고차 rho 불변량을 통해 증명된다.
• 기하학적 주기성 사상 $\mathcal{GP}$가 고전적 Siebenmann 주기성 사상 $\mathcal{SP}$와 일치함을 증명하여, $\mathcal{S}^{TOP}(X)$의 군 구조의 일관성을 보장한다.