[논문 리뷰] Addressing the bias in Monte Carlo pricing of multi-asset options with multiple barriers through discrete sampling

Pavel V. Shevchenko|ArXiv.org|2009. 04. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중 자산의 연속 장벽을 가진 바리에이션 옵션 가격 설정에서 편향을 제거하기 위해 브라운 운동 브리지 기반 몬테카를로 방법을 제안한다. 프레셰 경계를 통한 동시분포 근사와 독립적인 최대값을 활용하여, 표준 이산 샘플링보다 빠르게 수렴하는 편향이 없거나 엄밀히 유한한 추정기들을 가능하게 하며, 특히 높은 상관관계나 복잡한 장벽 구조에서 유리하다.

ABSTRACT

An efficient conditioning technique, the so-called Brownian Bridge simulation, has previously been applied to eliminate pricing bias that arises in applications of the standard discrete-time Monte Carlo method to evaluate options written on the continuous-time extrema of an underlying asset. It is based on the simple and easy to implement analytic formulas for the distribution of one-dimensional Brownian Bridge extremes. This paper extends the technique to the valuation of multi-asset options with knock-out barriers imposed for all or some of the underlying assets. We derive formula for the unbiased option price estimator based on the joint distribution of the multi-dimensional Brownian Bridge dependent extrema. As analytic formulas are not available for the joint distribution in general, we develop upper and lower biased option price estimators based on the distribution of independent extrema and the Fréchet lower and upper bounds for the unknown distribution. All estimators are simple and easy to implement. They can always be used to bind the true value by a confidence interval. Numerical tests indicate that our biased estimators converge rapidly to the true option value as the number of time steps for the asset path simulation increases in comparison to the estimator based on the standard discrete-time method. The convergence rate depends on the correlation and barrier structures of the underlying assets.

연구 동기 및 목표

• 다중 자산 장벽 옵션을 가격할 때 표준 이산 시간 몬테카를로 방법에서 지속적으로 발생하는 편향을 해결한다.
• 이전에 단일 자산 옵션에 사용된 일변도 브라운 운동 브리지 기법을 다중 자산 설정과 공동 장벽 제약 조건으로 확장한다.
• 기존의 주변 분포와 상관관계 경계를 이용해 실제 옵션 가격을 둘러싸는 실용적이고 구현 가능한 추정기를 개발한다.
• 특히 높은 상관관계 또는 복잡한 장벽 구성에서 표준 몬테카를로 방법의 $1/\sqrt{M}$ 편향 감쇠 속도를 감소시켜 수렴 속도와 정확도를 향상시킨다.
• 경로에 따라 변하는 지급 구조와 다중 장벽을 가진 복잡한 파생상품, 예를 들어 컨테이너 옵션, 룩백 옵션, 신용 파생상품의 효율적 평가를 가능하게 한다.

제안 방법

• 이산 샘플링 일자 사이의 다중 기초 자산의 동시 최대값 행동을 시뮬레이션하기 위해 브라운 운동 브리지 기법을 적용하여 연속 시간 최대값의 편향 없는 추정을 보장한다.
• 일반적으로 해석 형태가 존재하지 않지만, 다차원 브라운 운동 브리지 최대값의 동시분포를 바탕으로 정확한 편향 없는 추정기를 유도한다.
• 알 수 없는 최대값 동시분포에 대한 프레셰 상한 및 하한 경계를 사용하여 상한 및 하한 편향 추정기를 구성함으로써 진짜 가격에 대한 신뢰구간을 확보한다.
• 일반적으로 더 정확한 추정기를 위해 독립적인 최대값의 동시분포를 기반으로 한 세 번째 추정기를 개발한다. 이는 실용적인 근사로 기능한다.
• 동시분포가 해석이 어려운 경우, 완전한 정상 상관관계 또는 반대 상관관계 또는 독립성 하에서 도달 시간의 주변 시뮬레이션을 사용하여 복잡한 경로 의존 옵션을 추정한다.
• 표본 수 $M$ 에 따라 $Q_M \approx Q_c + \lambda/\sqrt{M}$ 형태로 이산 모니터링과 연속 모니터링 장벽 옵션 사이의 보간을 적용함으로써 고주기 모니터링 상황에서 정확도를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 이산 시간 몬테카를로 방법으로 다중 자산 장벽 옵션을 가격할 때 발생하는 편향을 체계적으로 줄이거나 제거할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 일변도 브라운 운동 브리지 방법을 다중 자산, 다중 장벽 설정으로 확장할 때의 이론적 및 실용적 한계는 무엇인가?
• RQ3 동시분포가 해석이 어려운 상황에서 프레셰 경계와 독립적인 최대값 근사가 실제 옵션 가격에 대해 좁고 계산 가능한 경계를 제공할 수 있는가?
• RQ4 다양한 상관관계와 장벽 구성 조건 하에서 제안된 추정기의 수렴 속도는 표준 몬테카를로 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 이 방법은 경로 의존적 특성을 가진 복잡한 파생상품, 예를 들어 컨테이너 옵션, 룩백 옵션, 신용 파생상품의 가격 설정에 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 브라운 운동 브리지 기반 추정기는 표준 이산 시간 몬테카를로 방법에 비해 편향을 크게 줄이며, $1/\sqrt{M}$ 감쇠 속도를 초월하는 수렴 속도를 보인다.
• 프레셰 경계를 기반으로 한 상한 및 하한 편향 추정기는 항상 실제 옵션 가격을 둘러싸며, 신뢰구간 추정이 가능하다.
• 독립적인 최대값 기반 추정기는 일반적으로 가장 정확하고 계산 효율성이 높으며, 특히 상관관계가 중간 수준일 경우 유리하다.
• 수치 실험 결과, 표본 수 $M$ 이 증가할수록 편향 추정기의 수렴 속도가 급격히 향상되며, 특히 높은 상관관계 또는 동일한 장벽 구조에서 두드러진다.
• 이 방법은 조각별로 일정한 드리프트와 변동성을 가진 일반적인 확산 과정에도 적용 가능하여, 로그노멀 가정을 초월한 유용성을 가진다.
• 이 기법은 $Q_M \approx Q_c + \lambda/\sqrt{M}$ 를 통해 이산 모니터링과 연속 모니터링 장벽 옵션 사이의 효과적인 보간을 가능하게 하여 고주기 모니터링 상황에서 정확도를 향상시킨다.