[논문 리뷰] Adelic openness without the Mumford-Tate conjecture

Chun Yin Hui, Michael Larsen|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 무머포드-테이트 추측을 가정하지 않고 에테ール 코homology 위의 갈루아 표현에 대한 아델릭 열림 추측의 약화된 버전을 제안하고 이를 증명한다. 논문은 특별한 아델릭 부분군이 단순 연결 덮개의 도출 부분군에서 생성됨을 보장하는 1.3번 추측을 도입하며, 이 추측과 무머포드-테이트 추측이 함께 성립할 경우 도출 부분군의 단순 연결 형식에서 전체 아델릭 열림이 성립함을 보인다.

ABSTRACT

Let $X$ be a non-singular projective variety over a number field $K$, $i$ a non-negative integer, and $V_{\A}$, the etale cohomology of $\bar X$ with coefficients in the ring of finite adeles $\A_f$ over $\Q$. Assuming the Mumford-Tate conjecture, we formulate a conjecture (Conjecture 1.2) describing the largeness of the image of the absolute Galois group $G_K$ in $H(\A_f)$ under the adelic Galois representation $ρ_{\A}: G_K -> \Aut(V_{\A})=\GL_n(\A_f)$, where $H$ is the Hodge group. The motivating example is a celebrated theorem of Serre, which asserts that if $X$ is an elliptic curve without complex multiplication over $\bar K$ and $i=1$, then $ρ_{\A}(G_K)$ is an open subgroup of $\GL_2(\hat \Z)\subset \GL_2(\A_f)$. We state and in some cases prove a weaker conjecture which does not require Mumford-Tate but which, together with Mumford-Tate, implies Conjecture 1.2. We also relate our conjectures to Serre's conjectures on maximal motives.

연구 동기 및 목표

• 무머포드-테이트 추측에 의존하지 않는 아델릭 갈루아 이미지의 크기성에 대한 추측을 제시하는 것.
• 세르의 고전적 열림 이미지 정리와 모티프에 대한 보다 광범위한 추측적 프레임워크 사이의 격차를 메우는 것.
• 아델릭 이미지의 구조를 세르의 최대 모티프 및 모티프 갈루아 군에 대한 추측과 연결하는 것.
• 공역의 $\ell$-adic 군들의 곱에서 공역 부분군의 특성에 대한 공식을 공식화하는 커mutator 사상에 기반한 기준을 설정하는 것.
• 무머포드-테이트 추측과 1.3번 추측이 함께 성립할 경우 도출 부분군의 단순 연결 덮개에서 전체 아델릭 열림이 성립함을 보이는 것.

제안 방법

• 1.3번 추측을 도입하여, 아델릭 갈루아 이미지에 대해 $k$-중복 곱을 적용한 커mutator 사상이 $\prod_{\ell} G_{\ell}^{\operatorname{sc}}(\mathbb{Q}_{\ell})$ 내에서 특별한 아델릭 부분군을 생성함을 주장한다.
• 특수 아델릭 부분군을 정의하여, 거의 모든 $\ell$ 에서 $\ell$-adic 성분에서 열려 있으며, 비분해성 있는 자리에서 최대 컴acts 부분군을 갖는 컴acts 부분군으로 간주한다.
• 모티프 갈루아 군 이론과 모티프의 범주를 사용하여 $\Phi_{\mathbb{A}}(G_K)$ 와 $G_{\mathcal{M}(E)}(\mathbb{A}_f)$ 사이의 관계를 설정한다.
• $p$-adic 및 아델릭 군에서 단어 사상과 커mutator 부분군의 성질을 응용하여 $\kappa(\Gamma_{\mathbb{A}}, \Gamma_{\mathbb{A}})^k$ 의 구조를 분석한다.
• 세르의 최대 모티프에 대한 열림 이미지 추측(추측 5.1)과 최대 모티프에 의한 지배성 추측(추측 5.2)을 활용하여 최대 경우로 축소한다.
• 무머포드-테이트 추측과 1.3번 추측이 성립할 경우 $\kappa(\Gamma_{\mathbb{A}}, \Gamma_{\mathbb{A}})^k$ 가 특별한 아델릭 부분군을 포함함을 증명하며, 이는 $H^{\operatorname{sc}}(\mathbb{A}_f)$ 에서의 아델릭 열림을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에테ール 코homology 위의 갈루아 표현에 대해 무머포드-테이트 추측을 가정하지 않고 아델릭 열림을 확립할 수 있는가?
• RQ2 단순 연결 덮개의 도출 부분군에서 아델릭 갈루아 이미지의 커mutator 부분군의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ3 특수 아델릭 부분군의 개념은 $H^{\operatorname{sc}}(\mathbb{A}_f)$ 에서의 이미지의 열림성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 세르의 최대 모티프에 대한 추측이 도출 부분군에서 아델릭 열림을 얼마나 강하게 암시하는가?
• RQ5 완전한 무머포드-테이트 추측보다 더 약한 조건 하에서 아델릭 갈루아 표현의 이미지가 특수 아델릭 부분군을 포함함을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 1.3번 추측는 무머포드-테이트 추측이 필요 없는 아델릭 열림의 더 약한 대안으로 제안된다.
• 논문은 1.3번 추측이 성립하고 무머포드-테이트 추측이 참일 경우, 모든 $k \geq 2$ 에 대해 $\kappa(\Phi_{\mathbb{A}}(G_K), \Phi_{\mathbb{A}}(G_K))^k$ 가 $\prod_{\ell} H^{\operatorname{sc}}(\mathbb{Q}_{\ell})$ 의 특수 아델릭 부분군을 포함함을 증명한다.
• 동일한 가정 하에 $\kappa(\Phi_{\mathbb{A}}(G_K), \Phi_{\mathbb{A}}(G_K))^k$ 는 어떤 $k$ 에 대해 $H^{\operatorname{sc}}(\mathbb{A}_f)$ 에서 열려 있으며, 이는 1.2번 추측을 암시한다.
• 이 증명은 추측 5.2(최대 모티프에 의한 지배성)에 따른 최대 모티프의 존재성과 추측 5.1(최대 모티프에 대한 열림 이미지 성질)에 기반한다.
• 저자들은 아델릭 갈루아 표현 $\Phi_E(G_K)$ 의 이미지가 $H(\mathbb{A}_f)$ 에 포함되며, 그 커mutator 이미지가 단순 연결 덮개에서 열려 있음을 보였다.
• 결과적으로 이 논문은 무머포드-테이트 추측을 전면적으로 가정하지 않더라도, 모티프 갈루아 군의 구조와 아델릭 열림 사이의 조건부 연결 고리를 확립한다.