[논문 리뷰] Adiabatic Limit, Theta Function, and Geometric Quantization

Takahiko Yoshida|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 08.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전조선선다발을 지닌 라그랑주 토러스 필라션에 대한 스피너c 디랙 연산자의 등온 극한을 연구하며, 보어-좀머펠트 점들에 의해 색인화된 $L^2$-섹션의 직교 계열을 확립한다. 정수적 경우, 이러한 섹션들은 보어-좀머펠트 섹션 위에 집중된 델타 함수로 수렴하며 자바 스토리 함수와 관련된다. 비정수적 경우, 섹션들은 여전히 직교적이며 등온 극한에서 디랙 연산자의 노름이 0으로 수렴한다.

ABSTRACT

Let $π\colon (M,ω) o B$ be a non-singular Lagrangian torus fibration on a complete base $B$ with prequantum line bundle $\bigl(L, abla^L\bigr) o (M,ω)$. Compactness on $M$ is not assumed. For a positive integer $N$ and a compatible almost complex structure $J$ on $(M,ω)$ invariant along the fiber of $π$, let $D$ be the associated Spin${}^c$ Dirac operator with coefficients in $L^{\otimes N}$. First, in the case where $J$ is integrable, under certain technical condition on $J$, we give a complete orthogonal system $\{ \vartheta_b\}_{b\in B_{ m BS}}$ of the space of holomorphic $L^2$-sections of $L^{\otimes N}$ indexed by the Bohr-Sommerfeld points $B_{ m BS}$ such that each $\vartheta_b$ converges to a delta-function section supported on the corresponding Bohr-Sommerfeld fiber $π^{-1}(b)$ by the adiabatic(-type) limit. We also explain the relation of $\vartheta_b$ with Jacobi's theta functions when $(M,ω)$ is $T^{2n}$. Second, in the case where $J$ is not integrable, we give an orthogonal family $\big\{ { ilde \vartheta}_b\big\}_{b\in B_{ m BS}}$ of $L^2$-sections of $L^{\otimes N}$ indexed by $B_{ m BS}$ which has the same property as above, and show that each $D{ ilde \vartheta}_b$ converges to $0$ by the adiabatic(-type) limit with respect to the $L^2$-norm.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 라그랑주 토러스 필라션에서 등온 극한을 통한 기하학적 양자화와 실수 양자화 간의 관계를 이해하기 위해.
• 정수적 및 비정수적 거의 복소 구조에서 보어-좀머펠트 점들에 의해 색인화된 $L^2$-섹션의 직교 계열을 구성하기 위해.
• 이 섹션들의 점근적 행동과 등온 극한 하에서의 디랙 연산자 작용을 분석하기 위해.
• 만약 다양체가 토러스 $T^{2n}$일 경우, 구성된 섹션과 자바 스토리 함수 사이의 연결 고리를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 라그랑주 필라션 $\pi: M \to B$의 섬유를 따라 불변인 $(M,\rho)$ 위의 호환되는 거의 복소 구조 $J$를 구성하기 위해.
• 계수를 $L^{\bigotimes N}$으로 가지는 스피너c 디랙 연산자 $D$를 정의하고, $L^2$-섹션 위에서의 작용을 연구하기 위해.
• 정수적 경우, 국소 해석적 자료를 사용하여 섹션 $\vartheta_b$를 정의하고, 이들이 완전한 직교 체계를 이룬다는 것을 보이기 위해.
• 비정수적 경우, 유사한 점근적 성질을 지닌 직교 계열 $\widetilde{\vartheta}_b$를 정의하기 위해.
• 등온 유형의 극한을 사용하여 $\vartheta_b$가 델타 함수로 수렴하고, $D\widetilde{\vartheta}_b \to 0$ 이다. $L^2$-노름에서 분석하기 위해.
• 적분 애핀 구조와 전조선선다발 위로의 단일화 작용의 올림을 활용하여 구성의 일관성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수적 경우, $L^{\bigotimes N}$의 해석적 $L^2$-섹션들이 등온 극한 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 만약 $M = T^{2n}$일 경우, 구성된 섹션 $\vartheta_b$와 자바의 스토리 함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 비정수적 경우에도 여전히 동일한 등온 극한 행동을 보이는 $L^2$-섹션의 직교 계열을 구성할 수 있는가?
• RQ4 비정수적 섹션 $\widetilde{\vartheta}_b$에 디랙 연산자 $D$를 작용시켰을 때, 등온 극한 하에서 $L^2$-노름에서 0으로 수렴하는가?
• RQ5 어떤 조건에서 거의 복소 구조 $J$에 대해 차수 0 조화 스피너 공간이 비자명하게 유지되는가?

주요 결과

• 정수적 경우, 보어-좀머펠트 점들에 의해 색인화된 완전한 직교 체계 $\{\vartheta_b\}_{b \in B_{BS}}$의 해석적 $L^2$-섹션 $L^{\otimes N}$이 구성된다.
• 각 $\vartheta_b$는 등온 극한에서 보어-좀머펠트 섬유 $\pi^{-1}(b)$ 위에 집중된 델타 함수 섹션으로 수렴한다.
• 만약 $M = T^{2n}$일 경우, 섹션 $\vartheta_b$는 자바의 스토리 함수와 명시적으로 관련된다.
• 비정수적 경우, 델타 함수로의 동일한 점근적 수렴성을 지닌 $L^2$-섹션의 직교 계열 $\{\widetilde{\vartheta}_b\}_{b \in B_{BS}}$이 구성된다.
• 비정수적 경우, $\|D\widetilde{\vartheta}_b\|_{L^2} \to 0$ 이다. 등온 극한을 취할 때.
• 구성은 비자명한 차수 0 조화 스피너의 존재를 보장하는 기술적 조건에 의존하며, 이 조건은 $\Gamma$-불변성과 정수성 가정 하에서 만족된다.