[논문 리뷰] Adiabatic quantum optimization fails for random instances of NP-complete problems

B. L. Altshuler, Hari Krovi외 1명|ArXiv.org|2009. 08. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 비가역 양자 최적화가 랜덤한 NP-완전 문제인 정확 커버 3(EC3) 문제의 경우에 대해, 비가역 수준 교차(avoided level crossing)로 인해 지수적으로 작은 고유값 간격으로 인해 실패함을 보여준다. 4차 편미분 이론과 앤더슨 국소화의 연결을 통해 저자들은 이러한 간격이 문제 크기와 함께 지수적으로 감소함을 보이며, 이는 일반적인 랜덤 인스턴스에서도 지수적 실행 시간을 암시한다.

ABSTRACT

Adiabatic quantum optimization has attracted a lot of attention because small scale simulations gave hope that it would allow to solve NP-complete problems efficiently. Later, negative results proved the existence of specifically designed hard instances where adiabatic optimization requires exponential time. In spite of this, there was still hope that this would not happen for random instances of NP-complete problems. This is an important issue since random instances are a good model for hard instances that can not be solved by current classical solvers, for which an efficient quantum algorithm would therefore be desirable. Here, we will show that because of a phenomenon similar to Anderson localization, an exponentially small eigenvalue gap appears in the spectrum of the adiabatic Hamiltonian for large random instances, very close to the end of the algorithm. This implies that unfortunately, adiabatic quantum optimization also fails for these instances by getting stuck in a local minimum, unless the computation is exponentially long.

연구 동기 및 목표

• 비가역 양자 최적화가 EC3와 같은 NP-완전 문제의 랜덤 인스턴스를 효율적으로 해결할 수 있는지 조사하기 위해.
• 특별히 설계된 어려운 인스턴스에서 관찰된 실패가 일반적인 랜덤 생성 인스턴스에도 적용되는지 확인하기 위해.
• 큰 랜덤 EC3 인스턴스에서 비가역 해밀토니안 스펙트럼의 지수적으로 작은 간격의 기원을 분석하기 위해.
• 실패 메커니즘과 양자 시스템에서의 앤더슨 국소화 간의 연결을 수립하기 위해.
• 편미분 이론이 비가역 진화의 끝부분에서 피하기적 수준 교차의 위치와 크기를 예측하는 데 얼마나 정확한지 평가하기 위해.

제안 방법

• EC3 문제를 인코딩하는 Hₚ를 포함한 시간에 따라 변화하는 해밀토니안 H(s) = (1-s)H₀ + sHₚ를 사용하여 비가역 양자 최적화 프로토콜을 수식화한다.
• s=1 근처에서 기본 상태와 첫 번째 올림 상태 사이의 에너지 분리도를 계산하기 위해 4차 편미분 이론을 적용한다.
• 두 개의 서로 다른 해가 거의 디세너지 상태가 되는 피하기적 수준 교차 지점 λ_c 를 식별하며, 이로 인해 작은 간격이 발생한다.
• 피하기적 수준 교차 위치의 척도를 파악하기 위해 λ_c ≈ O(N^{-1/8}) 를 유도하며, 이는 4차 편미분 계수 C^{(4)} 에 의존한다.
• N차원 초입방체 위에서의 앤더슨 국소화 모델과 비가역 해밀토니안 간의 연결을 수립한다.
• N=200 인스턴스에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 λ≈0.51 에서 피하기적 수준 교차가 발생함을 확인하며, 편미분 이론 예측과 일치함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역 양자 최적화는 특별히 설계된 어려운 인스턴스 외에도 랜덤한 NP-완전 문제 인스턴스에서 실패하는가?
• RQ2 왜 비가역 진화에서 랜덤 EC3 인스턴스의 고유값 간격이 지수적으로 작아지는가?
• RQ3 편미분 이론은 비가역 진화의 끝부분에서 피하기적 수준 교차의 위치와 크기를 정확히 예측할 수 있는가?
• RQ4 실패 메커니즘은 양자 시스템에서의 앤더슨 국소화 현상과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 3-SAT과 같은 다른 NP-완전 문제에서는 2차 편미분 이론 효과로 인해 더 이르은 시점에 간격이 작아져서 실패가 더 이르이 발생하는가?

주요 결과

• 지수적으로 작은 고유값 간격이 랜덤 EC3 인스턴스의 비가역 해밀토니안에서 나타나며, 이는 s=1 근처의 피하기적 수준 교차로 인해 발생하며, 이 간격은 e^{-cN} (c>0) 의 척도로 감소한다.
• 피하기적 수준 교차가 λ_c ≈ O(N^{-1/8}) 에서 발생하며, 유도된 조건 하에 간격이 지수적으로 작아지기 위해서는 N > 86,000 비트 이상이 필요하다.
• N=200 인스턴스에 대한 수치 시뮬레이션은 λ≈0.51 에서 수준 교차가 발생함을 확인하며, 편미분 이론 예측과 일치한다.
• 실패 메커니즘은 비가역 해밀토니안이 초입방체 위에서의 앤더슨 모델과 동일한 수학적 구조를 공유하므로 앤더슨 국소화와 관련이 있다.
• 3-SAT과 같은 문제에서는 분리가 편미분 이론의 2차 항에서 나타나므로, 피하기적 수준 교차는 λ_c ≈ O(N^{-1/4}) 에서 발생하며, 이는 더 작은 N 에서도 지수적으로 작은 간격을 관찰할 수 있음을 의미한다.
• 이 작은 간격은 이전의 시뮬레이션에서는 관측되지 않았는데, 그 이유는 진화의 매우 늦은 시점(s=1 근처)에 발생하기 때문이며, 편미분 이론이 유효해지기 위해서는 매우 큰 N 가 필요하기 때문이다.