[논문 리뷰] Adiabatic Quantum Simulation Using Trotterization

Yin Sun, Jun-Yi Zhang외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 임의의 이차 상호작용을 갖는 보존 해밀토니안을 위한 트로터화된 애디아바틱 양자 시뮬레이션의 정적 선형 광학적 구현을 제안한다. 동적 애디아바틱 진화를 정적 광학 어레이로 매핑함으로써, 해밀토니안의 비영인 행렬 원소가 희박할 경우 시스템 크기 $N$에 대해 트로터 수 $k$가 선형 이하로 증가하고, 광학 요소의 파rameter 변동에 대해서도 강건한 지상 상태 준비를 달성한다.

ABSTRACT

As first proposed for the adiabatic quantum information processing by Wu, Byrd and Lidar [ Phys. Rev. Lett. 89, 057904 (2002)], the Trotterization technique is a very useful tool for universal quantum computing, and in particular, the adiabatic quantum simulation of quantum systems. Given a boson Hamiltonian involving arbitrary bilinear interactions, we propose a static version of this technique to perform an optical simulation that would enable the identification of the ground state of the Hamiltonian. By this method, the dynamical process of the adiabatic evolution is mapped to a static linear optical array which avoids the errors caused by dynamical fluctuations. We examine the cost of the physical implementation of the Trotterization, i.e. the number of discrete steps required for a given accuracy. Two conclusions are drawn. One is that number of required steps grows much more slowly than system size if the number of the non-zero matrix elements of Hamiltonian is not too large. The second is that the fluctuation of the parameters of optical elements does not affect the first conclusion. This implies that the method is robust against errors.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 제어로 인한 동적 오차를 피하기 위해 애디아바틱 양자 시뮬레이션의 정적 광학적 구현을 개발한다.
• 다양한 해밀토니안 희박성 구조에 대해 시스템 크기 $N$에 따른 트로터 수 $k$의 스케일링을 분석한다.
• 광학 요소 파arameter의 변동에 대한 시뮬레이션의 강건성 평가한다.
• 이 방법이 고전적으로 해석이 불가능한 문제, 예를 들어 행렬 대각화 문제에 대해 효율적인 지상 상태 준비를 가능하게 함을 보여준다.

제안 방법

• 트로터-수즈키 분해를 사용하여 시간 진화 연산자 $U(T) = \tilde{\tau} \text{exp}[-i \tau H(a\tau)]$를 길이 $\tau = T/k$인 $k$개의 순차적 단계로 이산화한다.
• 시작 해밀토니안 $H_0$에서 목표 문제 해밀토니안 $H_p$로의 애디아바틱 진화를 고정된 광학 요소를 갖는 정적 선형 광학 회로로 매핑한다.
• 광학 구성 요소의 파arameter 변동이 미치는 영향을 모델링하고 분석하기 위해 랜덤화된 트로터 공식(RTF)을 사용한다.
• 큐비트를 표현하기 위해 광학 자유도(예: 편광, 공간 모드)를 활용하고, 수동 선형 광학을 통해 유니터리 연산을 실현한다.
• 직접 $H_p$의 대각화를 통해 시뮬레이션된 최종 상태와 진짜 지상 상태 사이의 허상도 $|\braket{\tilde{\rho}_{ad}}{\rho_f}|^2$를 수치적으로 평가한다.
• 세 가지 해밀토니안 유형에 대해 시스템 크기 $N$에 따른 필요한 트로터 수 $k$의 의존성을 분석한다: 오면진형(낮은 밀도), 희박형(고정된 50% 밀도), 완전 밀도형(100% 밀도).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 제어 오차를 제거하기 위해 정적 광학 어레이를 사용한 애디아바틱 양자 시뮬레이션을 효과적으로 구현할 수 있는가?
• RQ2 문제 해밀토니안 $H_p$의 희박성 패턴에 따라 시스템 크기 $N$에 따른 필요 트로터 수 $k$는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 광학 요소 파arameter의 변동이 $k$의 $N$에 대한 스케일링에 얼마나 큰 영향을 미치는가?
• RQ4 랜덤화된 트로터 공식이 실험적 비완전성에 의한 시뮬레이션 허상도에 미치는 영향을 정확히 모델링할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 고전적으로 해석이 불가능한 문제, 예를 들어 행렬 대각화 문제에 대해 고정밀 지상 상태 준비를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 해밀토니안 $H_p$의 비영인 비대칭 원소의 밀도가 낮을 경우, 예를 들어 오면진형의 경우, 트로터 수 $k$는 시스템 크기 $N$에 대해 선형 이하로 증가하며, $k$는 거의 일정하게 유지된다.
• 50% 비영인 비대칭 항을 갖는 희박한 $H_p$의 경우, 표준 트로터화에서는 $k$가 $N$에 대해 기울기 0.80으로 선형 스케일링되고, 랜덤화된 트로터 공식에서는 기울기 0.88로 스케일링된다.
• 완전 밀도형 $H_p$의 경우, 표준 트로터화에서는 $k$가 $N$에 대해 기울기 1.62로 선형 스케일링되고, 랜덤화된 트로터 공식에서는 기울기 1.63로 스케일링되며, 이는 희박한 경우에 비해 필요한 단계 수가 두 배로 증가함을 시사한다.
• $k$의 $N$에 대한 스케일링은 파arameter 변동에 대해 강건하며, 모든 해밀토니안 유형에서 표준 트로터화와 랜덤화된 트로터 공식의 결과가 거의 동일한 기울기를 보여 이는 강건성을 확인한다.
• 주요 오차 원인은 트로터-수즈키 전개의 $O(1/k)$ 항이며, 시간 간격 $\tau_a$의 변동은 아님을 확인하여, 실험적 비완전성에 대한 방법의 저항성을 뒷받침한다.
• 수치적 결과는 조밀한 경우와 희박한 경우 모두 $E_{pg}^2 \rightarrow \text{const} \times N$로 수렴하며, 이는 $k$의 $N$에 대한 선형 스케일링을 설명한다. 반면 오면진형의 경우 $E_{pg}$가 유계이므로 $k$는 거의 일정하다.