[논문 리뷰] Adjacencies in Permutations

Bhadrachalam Chitturi, Krishnaveni K. S|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 18.

Genome Rearrangement Algorithms참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정규, 역방향, 앞서함, 앞서함-역방향의 네 가지 유형의 인접성에 대해 크기가 n인 순열에서 정확히 k개의 인접성을 가지는 순열의 수 |Pₙ(k)|를 O(n²) 시간에 효율적으로 계산하는 프레임워크를 제안한다. 인접성 생성과 블록 이동 연산(예: 접두사 전위) 간의 연결 고리를 설정하여, 큰 n에 대해 한 번의 이동당 평균으로 약 1.5개의 새로운 인접성을 생성함을 보이며, 이는 순열을 정렬하기 위한 예상 이동 수를 추정하는 데 기여한다.

ABSTRACT

A permutation on an alphabet $ Σ$, is a sequence where every element in $ Σ$ occurs precisely once. Given a permutation $ π$= ($π_{1} $, $ π_{2} $, $ π_{3} $,....., $ π_{n} $) over the alphabet $ Σ$ =$\{ $0, 1, . . . , n$-$1 $\}$ the elements in two consecutive positions in $ π$ e.g. $ π_{i} $ and $ π_{i+1} $ are said to form an \emph{adjacency} if $ π_{i+1} $ =$ π_{i} $+1. The concept of adjacencies is widely used in computation. The set of permutations over $ Σ$ forms a symmetric group, that we call P$ _{n} $. The identity permutation, I$ _{n}$ $\in$ P$_{n}$ where I$_{n}$ =(0,1,2,...,n$-$1) has exactly n$ - $1 adjacencies. Likewise, the reverse order permutation R$_{n} (\in P_{n})$=(n$-$1, n$-$2, n$-$3, n$-$4, ...,0) has no adjacencies. We denote the set of permutations in P$_{n} $ with exactly k adjacencies with P$_{n} $(k). We study variations of adjacency. % A transposition exchanges adjacent sublists; when one of the sublists is restricted to be a prefix (suffix) then one obtains a prefix (suffix) transposition. We call the operations: transpositions, prefix transpositions and suffix transpositions as block-moves. A particular type of adjacency and a particular block-move are closely related. In this article we compute the cardinalities of P$_{n}$(k) i.e. $ \forall_k \mid $P$ _{n} $ (k) $ \mid $ for each type of adjacency in $O(n^2)$ time. Given a particular adjacency and the corresponding block-move, we show that $\forall_{k} \mid P_{n}(k)\mid$ and the expected number of moves to sort a permutation in P$_{n} $ are closely related. Consequently, we propose a model to estimate the expected number of moves to sort a permutation in P$_{n} $ with a block-move. We show the results for prefix transposition. Due to symmetry, these results are also applicable to suffix transposition.

연구 동기 및 목표

• 크기가 n이고 정확히 k개의 인접성을 가지는 순열의 수 |Pₙ(k)|를 정규, 역방향, 앞서함, 앞서함-역방향의 네 가지 유형의 인접성에 대해 계산하는 것.
• 접두사 및 접미사 전위와 같은 블록 이동 연산과 인접성 생성 간의 이론적 프레임워크를 수립하는 것.
• 계산된 인접성 분포를 활용하여 Pₙ 내의 무작위 순열을 정렬하기 위해 필요한 예상 이동 수를 추정하는 것.
• Pₙ 내의 기약 순열의 수가 Θ(n!)임을 보여주어 분석 대상이 되는 순열의 집합이 매우 크고 비트리비얼함을 확인하는 것.

제안 방법

• 모든 k에 대해 O(n²) 시간에 |Pₙ(k)|를 계산하기 위해 재귀 관계와 동적 프로그래밍을 사용하며, 각 인접성 유형에 대해 별도로 처리한다.
• 네 가지 인접성 유형을 정의한다: 유형 1(정규), 유형 2(역방향 인접성), 유형 3(앞서함 인접성), 유형 4(앞서함-역방향 인접성), 각각 다른 경계 조건을 가진다.
• 최대 길이의 연속 인접성 블록을 제거하고 대체로 하나의 대표 요소로 바꾸며, 더 큰 값을 조정함으로써 기약 순열을 도출하는 감소 과정을 적용한다.
• 단일 블록 이동에서 이중 인접성(두 개의 새로운 인접성)을 생성할 확률 σ를 유도하며, 큰 n에 대해 σ ≈ 0.5임을 보이고, 이는 한 번의 이동당 평균 1 + σ ≈ 1.5개의 새로운 인접성이 생성됨을 의미한다.
• 거울 순열 간의 대칭성을 활용하여 계산을 줄이며, 거울 순열은 동일한 인접성 수와 이동 요구 조건을 가진다.
• j ≤ i인 |Pⱼ(0)|의 계산된 값을 기반으로 예측 모델을 구축하여, Pₙ 내 순열을 정렬하기 위한 예상 이동 수 E(Pₙ)를 O(n²) 시간에 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 네 가지 인접성 유형 각각에 대해 크기가 n이고 정확히 k개의 인접성을 가지는 순열의 기수 |Pₙ(k)|는 얼마인가요?
• RQ2 접두사 전위와 같은 블록 이동은 순열 내 인접성 생성과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 한 번의 블록 이동당 생성되는 새로운 인접성의 예상 수는 얼마이며, 이는 순열을 정렬하기 위한 예상 이동 수와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ4 작은 스케일의 계산인 |Pⱼ(0)| (j < n)만을 사용하여 E(Pₙ), 즉 Pₙ 내 순열을 정렬하기 위한 예상 이동 수를 추정하는 모델을 구축할 수 있나요?
• RQ5 n > 9에서 직접 계산이 불가능한 상황에서, n이 증가함에 따라 제안된 모델의 E(Pₙ) 추정 정확도는 어떻게 되나요?

주요 결과

• 모든 k에 대해 네 가지 인접성 유형 각각에 대해 |Pₙ(k)|를 O(n²) 시간에 계산할 수 있다.
• 블록 이동(예: 접두사 전위) 한 번당 생성되는 새로운 인접성의 예상 수는 1 + σ이며, 큰 n에 대해 σ ≈ 0.5이므로 평균적으로 약 1.5개의 새로운 인접성이 생성된다.
• 한 번의 이동에서 이중 인접성(두 개의 새로운 인접성)을 생성할 확률 σ는 σ = 1/2 − 2/(n(n−1))로 유도되며, 이는 점점 0.5에 수렴한다.
• Pₙ 내의 기약 순열의 수는 Θ(n!)이며, 이는 인접성이 없는 순열의 집합이 지수적으로 크고 구조적으로 중요한 것을 확인한다.
• E(Pₐ), 즉 순열을 정렬하기 위한 예상 이동 수를 추정하는 모델은 O(n²) 시간에 실행되며, n이 증가할수록 점점 더 정확해진다.
• 대칭성 덕분에 접두사 전위의 결과는 접미사 전위에도 그대로 적용되며, 이는 프레임워크의 적용 범위를 넓힌다.