[논문 리뷰] Adjoint method for a tumour growth PDE-constrained optimization problem

Damián Knopoff, Damián Fernández외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 13.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 약물 미적용 종양 성장 모델의 미지 매개변수를 추정하기 위해 PDE 제약 최적화 문제를 해결하는 애드조인트 방법을 제시한다. 실제 실험 및 영상 데이터를 활용해 역문제를 기능 최소화 문제로 공식화함으로써, 패atters 검색보다 높은 정확도와 효율성을 달성하여 5% 노이즈가 있는 데이터에서도 매개변수 추정 오차를 약 1%로 줄였다.

ABSTRACT

In this paper we present a method for estimating unknown parameters that appear on an avascular, spheric tumour growth model. The model for the tumour is based on nutrient driven growth of a continuum of live cells, whose birth and death generate volume changes described by a velocity field. The model consists on a coupled system of partial differential equations whose spatial domain is the tumour, that changes in size over time. Thus, the situation can be formulated as a free boundary problem. After solving the forward problem properly, we use the model for the estimation of parameters by fitting the numerical solution with real data, obtained via in vitro experiments and medical imaging. We define an appropriate functional to compare both the real data and the numerical solution. We use the adjoint method for the minimization of this functional, getting a better performance than the obtained with the pattern search method.

연구 동기 및 목표

• 모형의 미지 매개변수를 추정하기 위한 강력한 PDE 제약 최적화 프레임워크를 개발하기 위해.
• 비선형이고 자유 경계를 가진 PDE 시스템을 실험 및 의료 영상 데이터에 적합시키는 도전 과제를 해결하기 위해.
• 기존의 패턴 검색을 사용한 연구를 개선하기 위해 기울기 기반 최적화를 위한 애드조인트 방법을 구현하기 위해.
• 치료에 대한 종양 반응을 예측하는 데 사용할 수 있는 정확하고 환자별 맞춤형 매개변수 추정을 가능하게 하기 위해.
• 비선형성과 애드조인트 시스템 내 특이점을 다룰 수 있는 수치적으로 안정된 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 영양소 확산과 세포 집단 역학을 연결하는 Ward와 King 종양 성장 모델에 기반한 PDE 제약 최적화 문제를 설정한다.
• 수치적 해와 관측된 데이터(종양 반지름 및 세포 밀도 분포 포함)를 비교하기 위해 최소 제곱 기능을 정의한다.
• 기능의 기울기를 미지 매개변수에 대해 계산하기 위해 애드조인트 시스템을 유도함으로써 효율적인 최적화를 가능하게 한다.
• 특히 이동하는 종양 경계에서 발생하는 특이점과 비선형성을 다루기 위한 수치 알고리즘을 도입한다.
• 애드조인트로부터 유도된 도함수를 사용해 반복적으로 매개변수를 업데이트하는 기울기 기반 최소화 알고리즘(예: 켄지드 그래디언트)을 적용한다.
• 정확도와 수렴성을 평가하기 위해 5%의 무작위 노이즈가 있는 합성 데이터와 없는 경우를 모두 사용해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애드조인트 방법은 종양 성장 PDE 모델의 매개변수 추정에서 도함수 없는 최적화(예: 패턴 검색)보다 뛰어나게 성능을 발휘할 수 있는가?
• RQ2 노이즈가 있는 실험 데이터에 적합했을 때 애드조인트 방법은 얼마나 정확하게 미지 매개변수를 복원할 수 있는가?
• RQ3 데이터 노이즈(예: 5%)는 매개변수 추정 과정의 수렴성과 정확성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 도함수 없는 방법에 비해 애드조인트 기반 기울기 계산은 계산 효율성과 해의 정확도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 이 방법은 항암제 효과나 영양소 소비 속도와 같은 추가 생물학적 매개변수를 포함하도록 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 애드조인트 방법은 이전 연구에서 사용된 패턴 검색 방법보다 훨씬 높은 정확도와 더 빠른 수렴을 달성했다.
• 합성 데이터에 5%의 무작위 노이즈가 있을 경우, 방법은 약 1%의 오차로 매개변수를 추정했다.
• 기능 값은 반복 과정 동안 일관되게 감소했고, 기능의 변화가 무시할 만큼 작아지면 알고리즘이 수렴했다.
• 최적화된 모델이 예측한 종양 반지름은 관측된 반지름과 매우 유사했으며, 확대했을 때만 미세한 차이가 보였다(그림 12).
• 그림 10에서 보듯이, 진짜 값에 가까워지는 추정값을 통해 중요한 매개변수 $ c_c $ 의 진짜 값을 성공적으로 복원했다.
• 애드조인트 기반 기울기 계산은 강건하고 확장 가능했으며, 원칙적으로 다수의 미지 매개변수에 적용할 수 있었다.