[논문 리뷰] Adjoint quotients of reductive groups

Ting-Yu Lee|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 15.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 가환환 위에서 재수성 군의 쌍대 몫이 기저 변경에 대해 안정적임을 증명하고, 최대 토러스의 웨일 군 몫과 동형임을 보여준다. 상수 유형의 단순 연결 반단순 군의 경우, 쌍대 몫은 딘킨 스킴 위에서 아핀 직선의 베일-제한과 동형이며, 군이 준단순이고 $A_{2m}$-형태 성분을 가지지 않는 한 스텐버그의 교차구조는 임의의 가환환 위에서 정의될 수 있다.

ABSTRACT

Let $ G$ be a reductive group over a commutative ring $k$. In this article, we prove that the adjoint quotient $\adqG$ is stable under base change. Moreover, if $ G$ has a maximal torus $ T$, then the adjoint quotient of the torus $ T$ by its Weyl group will be isomorphic to $\adqG$. Then we focus on the semisimple simply connected group $ G$ of the constant type. In this case, $\adqG$ is isomorphic to the Weil restriction $\underset{ D/\spec k}{\prod}\aff^{1}_ D$, where $ D$ is the Dynkin scheme of $ G$. Then we prove that for such $ G$, the Steinberg's cross-section can be defined over $k$ if $ G$ is quasi-split and without $ A_{2m}$-type components

연구 동기 및 목표

• 임의의 가환환 위에서 재수성 군에 대한 쌍대 몫 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ 를 정의하고 연구하기.
• 쌍대 몫이 기저 변경에 대해 안정적임과 동시에 최대 토러스의 웨일 군 몫과 동형임을 증명하기.
• 상수 유형의 단순 연결 반단순 군의 경우, 쌍대 몫이 딘킨 스킴 위에서 아핀 직선의 베일-제한으로 기술됨을 특성화하기.
• 임의의 가환환 위에서 스텐버그의 교차구조가 존재하는 조건을 확립하기.
• 반국소 환 위에서 반단순 정규 원소와 그 중심화군이 최대 토러스임을 보여주기.

제안 방법

• 재수성 군 $\mathrm{G}$ 위에서의 $\mathrm{G}$-불변 정칙 함수의 스펙트럼으로 쌍대 몫 $\mathrm{G}//\mathrm{G} = \mathrm{Spec}(k[\mathrm{G}]^\mathrm{G})$ 를 정의하기.
• 군 $\mathrm{G}$ 가 $k[\mathrm{G}]$ 에 작용하는 코너지션 작용을 통해 최대 토러스 $\mathrm{T}$ 에 대해 $k[\mathrm{T}]$ 에 $\mathrm{W}$-작용을 유도하고, 이로부터 $\mathrm{T}//\mathrm{W} = \mathrm{Spec}(k[\mathrm{T}]^\mathrm{W})$ 를 유도하기.
• $k[\mathrm{G}]^\mathrm{G} \to k[\mathrm{T}]^\mathrm{W}$ 의 제한 사상이 $\mathbb{Z}$ 위에서 $\mathrm{T}//\mathrm{W} \xrightarrow{\sim} \mathrm{G}//\mathrm{G}$ 를 유도함을 증명한 후, 임의의 가환환으로 확장하기.
• 상수 유형의 단순 연결 반단순 군의 경우, $\mathrm{G}//\mathrm{G} \cong \prod_{\mathrm{D}/\mathrm{Spec}\,k} \mathbb{A}^1_{\mathrm{D}}$ 를 보여주며, 여기서 $\mathrm{D}$ 는 딘킨 스킴이다.
• 군 $\mathrm{G}$ 가 준단순이고 $A_{2m}$-형태 성분을 가지지 않는 한, $k$ 위에서 스텐버그의 교차구조를 쌍대 몫과 아핀 직선들의 곱과의 동형을 이용해 구성하기.
• 반국소 환 위에서, 잔여체에서의 올림과 유니포텐트 군의 점들의 상사상성에 기반하여 반단순 정규 원소가 존재하고, 그 중심화군이 최대 토러스임을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가환환 위의 재수성 군에 대해 쌍대 몫 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ 이 기저 변경에 대해 안정적인가?
• RQ2 재수성 군 $\mathrm{G}$ 가 최대 토러스 $\mathrm{T}$ 를 포함할 경우, $\mathrm{T}//\mathrm{W} \xrightarrow{\sim} \mathrm{G}//\mathrm{G}$ 의 동형이 임의의 가환환 위에서 성립하는가?
• RQ3 상수 유형의 단순 연결 반단순 군의 쌍대 몫은 딘킨 스킴 위에서 아핀 직선의 베일-제한으로 기술될 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 임의의 가환환 위에서 스텐버그의 교차구조를 정의할 수 있는가?
• RQ5 반국소 환 위에서 단순 연결 반단순 군은 중심화군이 최대 토러스인 반단순 정규 원소를 갖는가?

주요 결과

• 임의의 가환환 $k$ 위의 재수성 군 $\mathrm{G}$ 에 대해 쌍대 몫 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ 는 기저 변경에 대해 안정적이다.
• 최대 토러스 $\mathrm{T}$ 를 포함하는 재수성 군 $\mathrm{G}$ 에 대해 쌍대 몫 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ 는 웨일 군 몫 $\mathrm{T}//\mathrm{W}$ 와 동형이다.
• 가환환 $k$ 위에서 상수 유형의 단순 연결 반단순 군의 경우, $\mathrm{G}//\mathrm{G} \cong \prod_{\mathrm{D}/\mathrm{Spec}\,k} \mathbb{A}^1_{\mathrm{D}}$ 를 만족하며, 여기서 $\mathrm{D}$ 는 $\mathrm{G}$ 의 딘킨 스킴이다.
• 군 $\mathrm{G}$ 가 준단순이고 $A_{2m}$-형태 성분을 가지지 않는 한, 스텐버그의 교차구조는 $k$ 위에서 존재한다.
• 반국소 환 $k$ 위에서 상수 유형의 반단순 단순 연결 군 $\mathrm{G}$ 는 반단순 정규 원소 $g$ 를 포함하며, 이에 대해 $\underline{\mathrm{Centr}}_{\mathrm{G}}(g)$ 는 최대 토러스이다.
• 이러한 군에서 반단순 정규 원소의 중심화군은 항상 매끄럽지 않으며, $k = \mathbb{C}[[x]]$ 인 $\mathrm{PGL}_{2,k}$ 에서의 반례로 이를 보여준다.