[논문 리뷰] Adjoint shadowing directions in hyperbolic systems for sensitivity analysis

Angxiu Ni|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 15.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 33인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 장기 평균 목적이 있는 초구형 시스템의 애드조인트 민감도 분석에 사용하기 위해, 불안정한 애드조인트 성분이 0인 유계 비동차 애드조인트 해로서의 '역상 그림자 방향'을 도입한다. 이는 초구형 흐름과 미분형사에 대해 고유하게 존재함을 입증하며, 탄성 해를 필요로 하지 않고 효율적인 애드조인트 기반 민감도 계산이 가능하게 하여, 혼돈 시스템에서 NILSAS를 더욱 발전시킨다.

ABSTRACT

For hyperbolic diffeomorphisms, we define adjoint shadowing directions as a bounded inhomogeneous adjoint solution whose initial condition has zero component in the unstable adjoint direction. For hyperbolic flows, we define adjoint shadowing directions similarly, with the additional requirement that the average of its inner-product with the trajectory direction is zero. In both cases, we show unique existence of adjoint shadowing directions, and how they can be used for adjoint sensitivity analysis. Our work set a theoretical foundation for efficient adjoint sensitivity methods for long-time-averaged objectives such as NILSAS.

연구 동기 및 목표

• 혼돈 시스템에서 장기 평균 목적이 있는 전통적 애드조인트 방법의 실패를 해결하기 위해.
• 초구형 흐름과 미분형사에 대해 불안정한 애드조인트 성분이 0인 유계 비동차 애드조인트 해로서의 애드조인트 그림자 방향을 정의하기 위해.
• 균일 초구형성과 에르고딕성 조건 하에서 애드조인트 그림자 방향의 고유 존재성을 확립하기 위해.
• 특히 변수 수가 적고 매개변수 수가 많은 시스템에 적합한 효율적인 애드조인트 민감도 방법(예: NILSAS)의 이론적 기반을 마련하기 위해.
• 탄성 해를 필요로 하지 않고 애드조인트 해로부터 순수하게 분석적으로 유도된 애드조인트 그림자 방향을 통해 애드조인트 민감도의 필요성을 제거하기 위해.

제안 방법

• 초기 조건이 불안정한 애드조인트 방향과 수직인 비동차 애드조인트 방정식의 유계 해로서 애드조인트 그림자 방향을 정의한다.
• 초구형 흐름의 경우, 궤도 방향과의 내적 시간 평균이 0이 되도록 추가 제약 조건을 부과한다.
• 애드조인트 변동 방정식과 투영 연산자를 사용하여 애드조인트 해를 안정, 불안정, 중립 성분으로 분해한다.
• 그림자 보조정리와 균일 초구형성을 활용하여 애드조인트 그림자 방향의 존재성과 고유성을 증명한다.
• 애드조인트 그림자 방향에 기반한 민감도 공식을 유도하여 장기 평균 목적이 있는 목적 함수의 기울기 효율적 계산이 가능하게 한다.
• 이론을 적용하여 탄성 해를 필요로 하지 않고 애드조인트 해만을 기반으로 하는 비침습적 최소 제곱 애드조인트 그림자(NILSAS) 알고리즘을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일 초구형성과 에르고딕성 조건 하에서, 중립 방향이 존재하더라도 초구형 흐름에 대해 애드조인트 그림자 방향이 엄밀히 정의되고, 그 존재와 고유성이 보장될 수 있는가?
• RQ2 어떻게 애드조인트 그림자 방향을 구성함으로써 탄성 해의 필요성을 제거하고, 효율적인 민감도 분석을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 초구형 흐름에서 궤도의 그림자 성질과 일관성을 확보하기 위해 애드조인트 그림자 방향에 어떤 제약 조건을 부여해야 하는가?
• RQ4 애드조인트 그림자 방향은 혼돈 시스템에서 선형 반응 공식과 루엘의 변동-소산 정리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 매개변수 수가 많은 시스템에 대해 이론적으로 타당하고 계산적으로 효율적인 민감도 공식을 도출하기 위해 애드조인트 그림자 방향을 사용할 수 있는가?

주요 결과

• 균일 초구형성과 에르고딕성 조건 하에서 초구형 흐름과 미분형사에 대해 애드조인트 그림자 방향이 존재하고 고유하게 정의된다.
• 초구형 흐름의 경우, 애드조인트 그림자 방향은 유계이면서 궤도 방향과의 내적 시간 평균이 0임으로써 고유하게 특징지어진다.
• 애드조인트 그림자 방향은 불안정한 애드조인트 방향과 수직이므로 안정 및 중립 부분공간에 위치한다.
• 이 방법은 탄성 해를 요구하지 않으며, 많은 매개변수를 가진 문제에 적합한 애드조인트 민감도 분석을 가능하게 한다.
• 이론적 프레임워크는 장기 평균 목적이 있는 혼돈 시스템에서 애드조인트 민감도를 효율적으로 계산하는 NILSAS 알고리즘 개발을 뒷받침한다.
• 애드조인트 그림자 방향은 선형 반응 이론과 일관된 민감도 공식을 만족하며, 애드조인트 해만으로 계산 가능하다.