[논문 리뷰] Adjointability of densely defined closed operators and the Magajna-Schweizer Theorem

Michael Frank, Kamran Sharifi|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 17.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 $C^*$-대수 $\mathcal{A}$ 위의 힐버트 $C^*$-모듈 사이의 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 정칙임과 동시에 $\mathcal{A}$가 컴 pact 연산자들의 $C^*$-대수임과 동치임을 증명한다. 또한 모든 이러한 연산자의 수반 가능성이 $\mathcal{A}$가 컴 pact 연산자들의 $C^*$-대수임과 동치임을 보이며, 힐버트 $C^*$-모듈 위의 비유계 연산자 이론에서 핵심적인 질문을 해결한다.

ABSTRACT

In this notes unbounded regular operators on Hilbert $C^*$-modules over arbitrary $C^*$-algebras are discussed. A densely defined operator $t$ possesses an adjoint operator if the graph of $t$ is an orthogonal summand. Moreover, for a densely defined operator $t$ the graph of $t$ is orthogonally complemented and the range of $P_FP_{G(t)^\bot}$ is dense in its biorthogonal complement if and only if $t$ is regular. For a given $C^*$-algebra $\mathcal A$ any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules is regular, if and only if any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules admits a densely defined adjoint operator, if and only if $\mathcal A$ is a $C^*$-algebra of compact operators. Some further characterizations of closed and regular modular operators are obtained. Changes 1: Improved results, corrected misprints, added references. Accepted by J. Operator Theory, August 2007 / Changes 2: Filled gap in the proof of Thm. 3.1, changes in the formulations of Cor. 3.2 and Thm. 3.4, updated references and address of the second author.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 $C^*$-모듈 위의 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 언제 수반 가능하고 정칙인지 특성화하는 것.
• 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 조밀하게 정의된 수반을 가질 수 있는 $C^*$-대수적 조건을 규명하는 것.
• 기저가 되는 $C^*$-대수가 컴 pact 연산자들의 $C^*$-대수와 등장하는 것에 따라 정칙성과 수반 가능성의 완전한 특성화를 수립하는 것.
• 힐버트 $C^*$-모듈에서 연산자 그래프의 직교 여부와 정칙성 사이의 관계를 해결하는 것.
• 모든 $C^*$-대수 위의 힐버트 $C^*$-모듈에 대한 비유계 정칙 연산자에 대해 매가이나-슈바이처 정리를 일반화하는 것.

제안 방법

• 조밀하게 정의된 닫힌 연산자 $t$의 그래프를 $E \oplus F$의 부분모듈로 분석하고, 이 그래프가 직교 합성원이 되는지 연구하는 것.
• 연산자 $t$의 정칙성을 특성화하기 위해 $P_F P_{G(t)^ot}$의 범위가 그 이중직교보완에 대해 조밀한지의 조건을 사용하는 것.
• 모듈 $E$와 $F$의 $\mathcal{A}$-값을 갖는 내적 식 $\langle tx, y\rangle_F = \langle x, t^*y\rangle_E$를 통해 수반 가능성의 정의를 적용하는 것. 여기서 $x \in \text{Dom}(t)$, $y \in \text{Dom}(t^*)$이다.
• 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 조밀하게 정의된 수반을 가진다면, $C^*$-대수 $\mathcal{A}$는 컴 pact 연산자들의 $C^*$-대수여야 한다는 것을 증명하는 것.
• 최소 프로젝션을 통해 유도되는 $\mathcal{A}$-*-동형사상 $\Phi: B(E) \to B(E_e)$를 이용하여 문제를 $E_e = eE$를 통한 힐버트 공간으로 환원하는 것.
• 비유계 연산자들을 힐버트 공간 위의 유계 연산자로 연결하기 위해 $t \mapsto F_t = t(1 + t^*t)^{-1/2}$의 전단사성 활용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 힐버트 $C^*$-모듈 위의 조밀하게 정의된 닫힌 연산자는 수반 가능할까?
• RQ2 $\mathcal{A}$-선형 연산자가 힐버트 $\mathcal{A}$-모듈 사이에 조밀하게 정의되고 닫혀 있을 때, 모든 연산자가 정칙이 되기 위한 $\mathcal{A}$의 조건은 무엇인가?
• RQ3 조밀하게 정의된 닫힌 연산자의 수반이 조밀하게 정의되려면 어떤 조건이 필요한가?
• RQ4 $\mathcal{A}$의 구조는 비유계 연산자의 수반과 정칙성 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 최소 프로젝션을 통해 힐버트 $C^*$-모듈 위의 비유계 연산자를 얼마나 깊이 힐버트 공간 위의 연산자로 환원할 수 있는가?

주요 결과

• 힐버트 $\mathcal{A}$-모듈 사이의 조밀하게 정의된 닫힌 연산자 $t$는 그래프 $G(t)$가 직교 보완을 가지며, $P_F P_{G(t)^\perp}$의 범위가 그 이중직교보완에 대해 조밀할 때 정칙이다.
• 모든 조밀하게 정의된 닫힌 $\mathcal{A}$-선형 연산자가 힐버트 $\mathcal{A}$-모듈 사이에 존재할 때 정칙이 되는 것은 $\mathcal{A}$가 컴 pact 연산자들의 $C^*$-대수일 때에만 성립한다.
• 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 힐버트 $\mathcal{A}$-모듈 사이에 조밀하게 정의된 수반을 가진다는 것은 $\mathcal{A}$가 컴 pact 연산자들의 $C^*$-대수임과 동치이다.
• 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자들의 핵과 상(범위가 노름으로 닫혀 있을 때)이 직교 합성원이 되는 것은 $\mathcal{A}$가 컴 pact 연산자들의 $C^*$-대수일 때에만 성립한다.
• 컴 pact 연산자들의 부분대수로의 충실한 $*$-표현을 갖지 못하는 임의의 $C^*$-대수 $\mathcal{A}$에 대해, 정칙이 아니며 수반이 조밀하게 정의되지 않은 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 존재한다.
• 모듈 $E$ 위의 조밀하게 정의된 닫힌 연산자와 힐버트 공간 $E_e = eE$ 위의 연산자 사이에 수반을 보존하는 전단사가 존재한다. 이는 $\mathcal{A}$-*-동형사상 $\Phi$와 매핑 $t \mapsto t(1 + t^*t)^{-1/2}$에 의해 유도된다.