[논문 리뷰] Adjointable monoidal functors and quantum groupoids

Kornél Szlachányi|arXiv (Cornell University)|2003. 01. 22.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 8인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 약한 보알제브라의 모듈러 범주에서 벡터 공간으로의 장기적인 잊혀진 함자들에 대해 분리 가능한 프로베누스 구조를 사용하여 특성화를 수립한다. 모든 모나드 함자들이 분리 가능한 프로베누스 대수에 대한 이중모듈러 범주를 통해 인수분해됨을 보여, 모나드와 비모나드 이론을 통해 Tannaka 대칭성을 약한 보알제브라와 양자 군oids로 확장하며, 기저 대수에 분리 가능한 프로베누스 구조가 부여된 경우에만 이러한 함자들이 정확히 약한 보알제브라로부터 유래됨을 증명한다.

ABSTRACT

Every monoidal functor G: C --> M has a canonical factorization through the category of bimodules over some monoid R in M such that the factor U: C -->_R M_R is strongly unital. Using this result and the characterization of the forgetful functors M_A -->_R M_R of bialgebroids A over R given by Schauenburg together with their bimonad description given by the author recently here we characterize the "long" forgetful functors M_A -->_R M_R --> M of both bialgebroids and weak bialgebras.

연구 동기 및 목표

• 양자 군oids의 맥락에서 강한 모나드 함자에서 일반 모나드 함자로 Tannaka 대칭성을 확장하는 것.
• 약한 보알제브라와 관련된 장기 잊혀진 함자 $ G^A: \nolimits \mathcal{M}_A \to \mathcal{M}_k $ 를 특성화하는 것.
• 모나드 함자가 이러한 잊혀진 함자로 나타나기 위한 필요 및 충분 조건—특히 기저 대수에서 분리 가능한 프로베누스 구조의 존재—를 규명하는 것.
• 기저 대수에 프로베누스 자료를 통합함으로써 비모나드에 의한 이중알제브로이드의 특성화를 약한 보알제브라로 일반화하는 것.

제안 방법

• 모나드 함자 $ G: \mathcal{C} \to \mathcal{M} $ 를 $ R = GE $ 인 $ R $-이중모듈러 범주 $ {}_R\mathcal{M}_R $ 를 통해 인수분해하는 것, 여기서 $ E $ 는 $ G $ 에서 단위 대상의 이미지이다.
• 표준 인수분해를 사용하여 $ G $ 가 본질적으로 강한 모나드 함자임을 보이며, 이는 분리 가능한 프로베누스 구조를 갖는다.
• Schauenburg의 이중알제브로이드 잊혀진 함자 특성화와 저자의 비모나드 묘사를 적용하여 $ G $ 를 $ A $ 에 대한 이중알제브로이드 구조와 연결하는 것.
• 단위 대상의 이미지인 $ R = GE $ 에 분리 가능한 프로베누스 구조를 도입하며, 자연 변환으로부터 유도된 구조 사상 $ \mu, \eta, \sigma, \psi $ 를 정의하는 것.
• comultiplication $ \Delta(a) = \sum_i a_{(1)}s(e_i) \otimes a_{(2)}t(f_i) $ 과 쿤트 $ \epsilon(a) = \psi(\varepsilon(a)) $ 를 통해 $ A $ 에 대한 약한 보알제브라 구조를 정의하며, 여기서 $ \sigma(1_R) = \sum_i e_i \otimes f_i $ 이다.
• 분리 가능한 프로베누스 구조가 $ R $ 에 존재할 경우, 프로베누스와 이중알제브로이드 구조 간의 호환성으로 인해 이중알제브로이드 $ A $ 가 약한 보알제브라로 확장됨을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모나드 함자 $ G: \mathcal{C} \to \mathcal{M}_k $ 가 약한 보알제브라의 장기 잊혀진 함자로 나타나는 조건은 무엇인가?
• RQ2 모나드 함자 $ G $ 에서 단위 대상의 이미지로부터 약한 보알제브라의 기저 대수 $ R $ 은 어떻게 재구성될 수 있는가?
• RQ3 어떤 추가 구조가 $ G $ 에 존재할 경우, 관련된 이중알제브로이드 구조 $ A $ 가 약한 보알제브라로 확장되는가?
• RQ4 기저 대수 $ R = GE $ 에 분리 가능한 프로베누스 구조가 존재할 경우, 이는 약한 보알제브라의 잊혀진 함자 $ G^A $ 를 어떻게 특성화하는가?
• RQ5 모나드 함자 $ G $ 의 모나드 구조, 그 오른쪽 수반, 그리고 $ R $ 에 존재하는 프로베누스 구조 간의 상호작용은 어떻게 약한 보알제브라의 Tannaka 유형 재구성으로 이어지는가?

주요 결과

• 모든 $ k $-선형 모나드 함자 $ G: \mathcal{C} \to \mathcal{M}_k $ 는 $ R = GE $ 인 $ {}_R\mathcal{M}_R $ 를 통해 표준 인수분해를 가지며, 이 인수분해 $ U: \mathcal{C} \to {}_R\mathcal{M}_R $ 는 엄밀히 단위를 가지며 모나드이다.
• 기저 대수에 분리 가능한 프로베누스 구조가 존재하는 한, $ k $-선형 모나드 함자 $ G $ 는 약한 보알제브라의 장기 잊혀진 함자와 동치이다. 이는 $ G $ 가 모나드적이며, 오른쪽 수반이 존재하며, 분리 가능한 프로베누스 구조를 지닌다.
• 기저 대수 $ R = GE $ 는 $ G $ 에 존재하는 분리 가능한 프로베누스 구조로부터 분리 가능한 프로베누스 대수의 구조를 상속받으며, 곱 $ \mu = G\ell_E \circ G_{E,E} $, 단위 $ \eta = G_0 $, comultiplication $ \sigma = G^{E,E} \circ G\ell_E^{-1} $, 쿤트 $ \psi = G^0 $ 로 정의된다.
• 약한 보알제브라의 구조는 $ \Delta(a) = \sum_i a_{(1)}s(e_i) \otimes a_{(2)}t(f_i) $ 과 $ \epsilon(a) = \psi(\varepsilon(a)) $ 를 통해 재구성되며, 여기서 $ \sum_i e_i \otimes f_i = \sigma(1_R) $ 이다. 이는 이중알제브로이드 구조와의 호환성을 보장한다.
• 이 구성은 $ R $ 에 존재하는 분리 가능한 프로베누스 구조가 이중알제브로이드를 약한 보알제브라로 확장하는 데 충분함을 보여주며, 기존의 Tannaka-Krein 대칭성을 비가환 기저 대수로 일반화한다.
• 결과적으로, 기저 대수에 분리 가능한 프로베누스 구조를 지닌 모나드 함자를 통해 약한 보알제브라의 모듈러 범주를 특성화함으로써, 약한 보알제브라에 대한 완전한 Tannaka 대칭성을 확립한다.