[논문 리뷰] Adjunction contexts and regular quasi-monads

Robert Wisbauer|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유닛과 코유닛 조건을 완화한 약한 (코)모나드의 카테고리적 프레임워크를 도입하며, 함자들 간의 유사수반 쌍을 통해, 임의의 카테고리 A 위의 약한 (코)모나드가 A와 그에 상응하는 (코)모듈의 카테고리 사이의 정규 쌍을 유도함을 보여준다. 주요 기여는 일반화된 수반 맥락에서 약한 (코)모나드를 체계적으로 유도함으로써, 모듈 이론을 통해 그들의 구조를 통합하는 것이다.

ABSTRACT

For functors $L:\A o \B$ and $R:\B o \A$ between any categories $\A$ and $\B$, a {\em pairing} is defined by maps, natural in $A\in \A$ and $B\in \B$, $$\xymatrix{\Mor_\B (L(A),B) \ar@ [r]^{\alpha} & \Mor_\A (A,R(B))\ar@ [l]^{\beta}}.$$ $(L,R)$ is an {\em adjoint pair} provided $\alpha$ (or $\beta$) is a bijection. In this case the composition $RL$ defines a monad on the category $\A$, $LR$ defines a comonad on the category $\B$, and there is a well-known correspondence between monads (or comonads) and adjoint pairs of functors. For various applications it was observed that the conditions for a unit of a monad was too restrictive and weakening it still allowed for a useful generalised notion of a monad. This led to the introduction of {\em weak monads} and {\em weak comonads} and the definitions needed were made without referring to this kind of adjunction. The motivation for the present paper is to show that these notions can be naturally derived from pairings of functors $(L,R,\alpha,\beta)$ with $\alpha = \alpha\dcirc \beta\dcirc \alpha$ and $\beta = \beta \dcirc\alpha\dcirc\beta$. Following closely the constructions known for monads (and unital modules) and comonads (and counital comodules), we show that any weak (co)monad on $\A$ gives rise to a regular pairing between $\A$ and the category of {\em compatible (co)modules}.

연구 동기 및 목표

• 표준 수반 함자와 모나드 사이의 고전적 대응을 약한 모나드로 일반화하기 위해 유닛 및 코유닛 조건을 완화하는 것.
• 표준 모나드의 한계를 극복하기 위해 부분적 역함수 성질을 갖는 쌍을 기반으로 더 유연한 프레임워크를 도입하는 것.
• 약한 (코)모나드가 기반 카테고리와 그에 상응하는 호환 가능한 (코)모듈의 카테고리 사이의 정규 쌍을 자연스럽게 유도함을 보여주는 것.
• 함자 쌍을 통한 카테고리적 이중성에 기반해 약한 (코)모나드와 그에 관련된 (코)모듈 구조 간의 이중성을 수립하는 것.

제안 방법

• 함자 $L: \A \to \B$ 와 $R: \B \to \A$ 사이의 쌍을 자연 변환 $\alpha: \Mor_\B(L(A), B) \to \Mor_\A(A, R(B))$ 와 $\beta$ 를 통해 정의하며, $\alpha = \alpha \circ \beta \circ \alpha$ 와 $\beta = \beta \circ \alpha \circ \beta$ 를 만족시키는 조건을 부여한다.
• 자연 변환 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 반드시 전단사일 필요는 없지만 약한 역함수 조건을 만족하는 정규 쌍의 개념을 도입하여 수반의 일반화로 삼는다.
• 이러한 쌍으로부터 카테고리 $\A$ 위의 약한 모나드 $RL$ 과 카테고리 $\B$ 위의 약한 코모나드 $LR$ 를 구성하며, 표준 모나드 및 코모나드 구성 방식을 일반화한다.
• 약한 (코)모나드 위의 호환 가능한 모듈과 코모듈을 정의하고, 동일한 함자 쌍을 통해 기반 카테고리와 자연스럽게 쌍을 이루는 카테고리가 됨을 보여준다.
• 이러한 쌍의 구조를 활용하여, 표준 모듈 이론과 유사하게 약한 (코)모듈의 보편 성질을 복원한다.
• 모든 약한 (코)모나드가 카테고리 $\A$ 와 그에 상응하는 호환 가능한 (코)모듈의 카테고리 사이의 정규 쌍을 유도함을 보여주며, 이중성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 유닛 및 코유닛 공리에 의존하지 않고, 일반화된 수반 맥락에서 약한 모나드를 어떻게 시스템적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 약한 (코)모나드와 그에 상응하는 호환 가능한 (코)모듈 간의 관계를 뒷받침하는 카테고리적 구조는 무엇인가?
• RQ3 고전적인 수반-모나드 대응을 일반화된 쌍 프레임워크를 통해 약한 모나드로 확장할 수 있는가?
• RQ4 함자 쌍이 호환 가능한 (코)모듈의 카테고리 위에 정규적인 구조를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 쌍 관계 $\alpha = \alpha \circ \beta \circ \alpha$ 와 $\beta = \beta \circ \alpha \circ \beta$ 로부터 약한 (코)모듈의 보편 성질은 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 카테고리 $\A$ 위의 임의의 약한 모나드는 $\A$ 와 그에 상응하는 호환 가능한 모듈의 카테고리 사이의 정규 쌍을 유도한다.
• 표준 수반-모나드 대응을 일반화함에 있어, 전단사 자연 변환 대신 $\alpha = \alpha \circ \beta \circ \alpha$ 와 $\beta = \beta \circ \alpha \circ \beta$ 를 만족하는 약한 역함수 성질을 갖는 변환을 사용한다.
• 약한 모나드 위의 호환 가능한 모듈의 카테고리가 유도된 쌍을 통해 잘 정의된 구조를 갖게 되며, 이는 표준 모나드 이론에서 모듈이 차지하는 역할을 그대로 반영한다.
• 마찬가지로, 카테고리 $\B$ 위의 임의의 약한 코모나드는 $\B$ 와 호환 가능한 코모듈의 카테고리 사이의 정규 쌍을 유도한다.
• 이 프레임워크는 약한 (코)모나드를 일반화된 수반 맥락에 통합함으로써 통합적인 카테고리적 기반을 제공한다.
• 결과적으로, 정의된 쌍의 구조를 통해 약한 (코)모나드와 그에 상응하는 호환 가능한 (코)모듈 카테고리 간의 이중성이 수립된다.