[논문 리뷰] ADM formulation and Hamiltonian analysis of Coincident General Relativity

Fabio D’Ambrosio, Mudit Garg외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 1인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비등거리성(비곡률)을 기반으로 한 일반상대성 이론의 한 형태인 공시던트 일반상대성 이론(CGR)에 대해 ADM 분해와 해밀턴 분석을 수행한다. CGR가 곡률이 아닌 비등거리성에 기반한 이론임에도 불구하고, 경계항과 게이지 조건의 역할이 변화함에도 불구하고 정확히 두 개의 물리적 자유도를 전파함을 입증하며, 이는 수치 상대성 이론과 캐논ical 양자 중력 이론에 잠재적인 이점을 제공할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We consider a simpler geometrical formulation of General Relativity based on non-metricity, known as Coincident General Relativity. We study the ADM formulation of the theory and perform a detailed Hamiltonian analysis. We explicitly show the propagation of two physical degrees of freedom, as it should, even though the role of boundary terms and gauge conditions is significantly altered. This might represent an alternative promising new route for numerical relativity and canonical quantum gravity. We also give an outlook on the number of propagating degrees of freedom in non-linear extension of non-metricity scalar.

연구 동기 및 목표

• 공시던트 일반상대성 이론(CGR)을 ADM 3+1 형식으로 재구성하여 캐논ical 중력 이론과 수치 상대성 이론에서의 응용을 가능하게 한다.
• CGR의 해밀턴 구조를 분석하며, 비역동적 랩스와 시프트 필드에서 유래하는 제약의 성격과 역할을 다룬다.
• CGR에서 전파되는 자유도의 수를 결정하고, 표준 일반상대성 이론과 비교한다.
• CGR에서 경계항과 게이지 조건이 변화함에 따라 캐논ical 양자화와 수치적 진화에 어떤 영향을 미치는지 탐색한다.
• 비선형 $f(\mathcal{Q})$ 비등거리성 중력 이론의 자유도에 대한 初기 평가를 제공한다.

제안 방법

• 비등거리성 스칼라 $\mathcal{Q}$를 갖는 비등거리성 기반의 작용으로 이론을 단순화하기 위해, 애매한 접속이 없는 공시던트 게이지를 채택한다.
• lapse $N$, 시프트 $N^i$, 그리고 공간 계량 $\gamma_{ij}$로 표현된 계량을 사용하여 3+1 시공간 분할을 수행한다.
• 비등거리성 텐서를 시공간 초면에 투영하고, 부분 적분을 통해 작용을 ADM 변수로 재기록한다.
• 랩스와 시프트를 비역동적 라그랑주 승수로 간주하여, 해밀턴 형식에서 네 개의 1차 제약을 도출한다.
• 디르아크의 제약 분석을 적용하여 제약를 1차 제약 또는 2차 제약로 분류하고, 물리적 위상공간 차원을 계산한다.
• 비등거리성 스칼라 $\mathcal{Q}$와 리치 스칼라 사이의 이중성 덕분에, 경계항이 다를지라도 심플렉틱 구조가 표준 GR과 동일함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CGR의 ADM 형식은 표준 일반상대성 이론의 ADM 형식과 비교해 볼 때, 역동적 변수와 제약의 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ2 공시던트 일반상대성 이론에서 전파되는 물리적 자유도의 수는 얼마이며, 표준 GR과 비교해 보면 어떠한가?
• RQ3 CGR에서 경계항과 게이지 조건은 어떻게 재정의되며, 이는 물리적 해밀턴 함수와 수치적 진화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비선형 $f(\mathcal{Q})$ 중력 이론에서 전파되는 자유도의 수는 얼마이며, 이를 결정하는 제약은 무엇인가?
• RQ5 CGR에서 변화된 제약 구조가 수치 상대성 이론이나 캐논ical 양자 중력 이론에 이점을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• CGR는 정확히 두 개의 물리적 자유도를 전파하며, 이는 비등거리성 기반의 이론임에도 불구하고 표준 일반상대성 이론과의 일치를 확인한다.
• CGR에서 랩스와 시프트 필드는 네 개의 1차 제약을 생성하며, 이 제약들은 1차 제약이며 10개의 계량 구성공간에서 여덟 개의 자유도를 제거한다.
• 비등거리성 스칼라 $\mathcal{Q}$와 리치 스칼라 사이의 이중성 덕분에, 경계항이 다를지라도 CGR의 심플렉틱 구조는 표준 GR과 동일하다.
• 경계항과 게이지 조건은 GR과 비교해 CGR에서 상당히 다른 역할을 하며, 이는 동역학은 동일하지만 물리적 해밀턴 함수가 다르게 나타나게 한다.
• $f(\mathcal{Q})$ 중력 이론의 경우, 유일한 타당한 선택은 여섯 개의 전파 자유도이며, 이는 네 개의 1차 제약 모두 2차 제약여야 한다는 것을 의미한다.
• $f(\mathcal{Q})$의 선회 분석 결과, $\psi$, $E$, $E^i$, $h_{ij}$만이 전파되는 모드이며, 우주론적 배경에서 운동에너지 항이 0이 되기 때문에 $E^i$는 강한 결합 문제를 겪을 수 있다.