[논문 리뷰] Admissible Trading Strategies under Transaction Costs

Walter Schachermayer|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 07.

Economic theories and models인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 거래비용이 존재하는 상황에서 거래 전략의 기본적인 허용성 원칙을 수립하며, 일致한 가격 체계 하에서 비음수 종가 wealth는 모든 이전 시점에서도 비음수 wealth를 의미함을 보여준다. 논문은 자산 기반과 자산 비기반의 두 가지 허용성 개념을 도입하여, 이들이 이중 측면에서 국소 martingale 및 진정한 martingale 성질과 등가임을 입증한다. 또한, 마찰이 있는 시장에서 이러한 결과들이 얼마나 취약한지 보여주는 반례를 제시한다.

ABSTRACT

A well known result in stochastic analysis reads as follows: for an $\mathbb{R}$-valued super-martingale $X = (X_t)_{0\leq t \leq T}$ such that the terminal value $X_T$ is non-negative, we have that the entire process $X$ is non-negative. An analogous result holds true in the no arbitrage theory of mathematical finance: under the assumption of no arbitrage, a portfolio process $x+(H\cdot S)$ verifying $x+(H\cdot S)_T\geq 0$ also satisfies $x+(H\cdot S)_t\geq 0,$ for all $0 \leq t \leq T$. In the present paper we derive an analogous result in the presence of transaction costs. A counter-example reveals that the consideration of transaction costs makes things more delicate than in the frictionless setting.

연구 동기 및 목표

• 거래비용이 존재하는 시장으로 고전적 무아웃저지 원칙—비음수 종가 wealth는 모든 시점에서 비음수 wealth를 의미함—을 확장한다.
• 마찰이 있는 시장에서 자산 기반과 자산 비기반 허용성의 차이를 명확히 한다.
• 거래비용이 존재할 경우, 거래비용이 없는 시장에서의 허용성과 초과 martingale 성질 간의 등가성이 붕괴됨을 보여준다.
• 거래비용 존재 시 허용성이 항상 모든 시점에서 비음수 wealth를 의미하지는 않음을 보여주는 반례를 제시한다.
• 허용성 조건이 일치한 가격 체계와 국소 martingale에 어떻게 연결되는지 이중 프레임워크를 수립한다.

제안 방법

• 예측 가능하고 유한 변동성을 갖는 현금 및 주식 보유량 프로세스를 사용하는 이중 자산 자기자금 전략 프레임워크를 도입한다.
• 포트폴리오 가치 프로세스의 하한을 통해 허용성을 정의하여 무한한 손실이 발생하지 않도록 보장한다.
• 일致한 가격 체계(CPS) 개념을 도입하여, 등가 국소 martingale 측도의 마찰이 있는 시장에서의 대체 개념으로 사용한다.
• 이중 단계 구축: 첫 번째 단계는 [0, 1/4] 동안 세 가지 가능한 값으로 구성된 martingale 주가 프로세스를 설정하고, 두 번째 단계는 [1/4, 1] 동안의 결정론적 하락을 통해 가격 하락을 모델링한다.
• 높은 종가 wealth를 얻을 수 있는 확률이 존재하지만, 중간 시점에서 큰 손실을 입는 전략을 구성한다. 이는 허용성 조건을 위반한다.
• 조건부 기대와 정지 시간을 사용하여 전략이 자기자금 전략임을 보장하고, 필요한 부등식을 만족시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 무아웃저지 원칙—비음수 종가 wealth는 모든 시점에서 비음수 wealth를 의미함—은 거래비용이 존재하는 시장으로 확장 가능한가?
• RQ2 거래비용 존재 시 올바른 허용성 개념은 무엇이며, 일치한 가격 체계와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 거래비용이 존재할 경우, 전략이 허용성(하한이 있음)이지만 중간 시점에서 음수 wealth를 초래할 수 있는가?
• RQ4 자산 기반과 자산 비기반 허용성은 포트폴리오 역학에 대해 어떤 차이를 갖는가?
• RQ5 허용성이 항상 모든 시점에서 비음수 wealth를 의미하지 않는다는 반례는 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 일치한 가격 체계 하에서, 비음수 종가 wealth를 갖는 자기자금 전략은 모든 정지 시간에서 비음수 가치를 가져야 한다는 것을 증명하며, 고전 결과를 마찰이 있는 시장으로 확장한다.
• 자산 기반 허용성 조건은 국소 martingale 성질과 이중적으로 대응하며, 자산 비기반 허용성 조건은 진정한 martingale 성질과 대응한다.
• 자산 기반 허용성은 존재하지만, 시간 t=1/2에서 양의 확률로 임의로 큰 음수 wealth를 기록하는 반례를 구성한다.
• 이 반례는 시간 1/4까지 martingale인 주가 프로세스를 사용하고, 그 이후에 결정론적 하락을 적용하며, 조건부 기대를 활용해 자기자금 전략 조건을 유지한다.
• 시간 1/2에서 포트폴리오 가치는 M→∞일 때 −∞로 수렴하며, 이는 허용성이 중간 시점의 손실을 방지하지 못함을 보여준다.
• 이러한 구성은 고전적 허용성 원칙이 거래비용 존재 시 실패함을 확인하며, 허용성 조건을 신중히 수립할 필요성을 강조한다.