[논문 리뷰] AdS/CFT in Fractional Dimension and Higher Spin Gravity at One Loop

Evgeny Skvortsov, Tung Tran|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 03.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 47인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 정수 및 분수 차원에서 자유 및 임계 large-N O(N) 벡터 모델에 대해, CFT의 구면 자유 에너지와 유클리드 AdS에서의 Type-A 고차 스핀 중력의 1-loop 분할함수를 일치시킴으로써 1-loop AdS/CFT dual을 수립한다. 이는 (ϕ²)²의 이중트레이스 변형에 의한 자유 에너지의 차이가 고차 스핀 이론에서 경계 조건을 변경함으로써 재현됨을 보여주며, 이는 이전 결과를 정수 차원을 초월하여 비정수 차원으로 확장하고, 4−ϵ 전개를 초월하여 이중성의 타당성을 확인한다.

ABSTRACT

Large-$N$, $ε$-expansion or the conformal bootstrap allow one to make sense of some of conformal field theories in non-integer dimension, which suggests that AdS/CFT may also extend to fractional dimensions. It was shown recently that the sphere free energy and the $a$-anomaly coefficient of the free scalar field can be reproduced as a one-loop effect in the dual higher-spin theory in a number of integer dimensions. We extend this result to all integer and also to fractional dimensions. Upon changing the boundary conditions in the higher-spin theory the sphere free energy of the large-$N$ Wilson-Fisher CFT can also be reproduced from the higher-spin side.

연구 동기 및 목표

• 1-loop 계산을 통해 AdS/CFT 이중성을 비정수 차원으로 확장한다.
• 정수 및 분수 차원에서 자유 및 임계 large-N O(N) 벡터 모델의 구면 자유 에너지를 재현한다.
• 이중트레이스 변형 (ϕ²)²에 의해 유도된 자유 에너지의 차이가 고차 스핀 이론에서 경계 조건을 변경함으로써 재현됨을 보여준다.
• 모든 차원, 비정수 차원 포함, 고차 스핀 중력에서의 분할함수 1-loop 일치를 일반화한다.

제안 방법

• 대규모 N 및 ε-전개 기법을 사용하여 비정수 d에서 자유 및 임계 벡터 모델의 일반화된 구면 자유 에너지 F̃ = sin(πd/2) log Z_{S^d} 를 계산한다.
• 제타 함수 정규화 및 스핀-s 장에 대한 수정된 제타 함수를 사용하여 유클리드 AdS_{d+1}에서의 Type-A 고차 스핀 중력의 1-loop 분할함수를 유도한다.
• 스핀-s 장의 행렬식을 계산하기 위해 수정된 제타 함수 ζ′_ν,s(0) 를 사용하며, ν에 의존하는 스펙트럼 함수를 통해 다양한 경계 조건을 고려한다.
• 1-loop AdS 분할함수와 CFT의 구면 자유 에너지를 비교하여 1/N 전개의 각 차수에서 일치시킨다.
• 다른 경계 조건(Δ = d−2 대비 Δ = 2)에 의한 제타 함수의 손실을 평가하고, 모든 스핀에 걸쳐 합할 때 이 손실이 사라짐을 보여준다.
• Hurwitz 제타 함수 및 그 도함수를 다루는 항등식을 적용하여 제타 함수 정규화가 모든 차원에서 일관됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 AdS/CFT 이중성은 1-loop 수준에서 분수 차원으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 자유 및 임계 large-N O(N) 벡터 모델의 구면 자유 에너지는 비정수 차원에서의 고차 스핀 중력의 1-loop 분할함수로부터 재현될 수 있는가?
• RQ3 고차 스핀 이론에서 경계 조건을 변경함으로써 (ϕ²)²에 의한 자유 에너지의 변화가 재현되는가?
• RQ4 AdS_{d+1}에서의 Type-A 고차 스핀 이론의 1-loop 분할함수는 모든 d, 비정수 d 포함, CFT 측면과 일관한가?

주요 결과

• 비정수 d에서 자유 스칼라 장의 일반화된 구면 자유 에너지 F̃ 는 감마 함수와 sin(πu)를 포함하는 특정 적분으로 주어지며, 이는 1-loop AdS 결과와 일치한다.
• 고차 스핀 이론에서의 AdS 분할함수 1-loop 보정은 모든 정수 및 분수 차원에서 large-N Wilson-Fisher CFT의 구면 자유 에너지를 정확히 재현한다.
• 이중트레이스 변형 (ϕ²)²에 의한 자유 에너지의 차이는 고차 스핀 이론에서 Δ = d−2 에서 Δ = 2로의 경계 조건 변경을 통해 재현된다.
• 다른 경계 조건에 의한 제타 함수의 손실은 모든 스핀에 걸쳐 합할 때 사라지며, 이는 1-loop 분할함수가 일관됨을 보장한다.
• 수정된 제타 함수 접근법은 고차 스핀 중력에서의 1-loop 행렬식이 정수 뿐 아니라 분수 차원에서도 CFT 측면과 일치함을 확인한다.
• 이 결과는 이전의 d=3,4,5에서의 1-loop 일치를 해석적 계속 및 제타 함수 정규화를 통해 모든 d, 비정수 d 포함으로 일반화한다.