[논문 리뷰] Advanced Computer Algebra Algorithms for the Expansion of Feynman Integrals

Jakob Ablinger, S. Blümlein외 2명|DESY (CERN, DESY, Fermilab, IHEP, and SLAC)|2012. 10. 05.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 34인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 $4+\varepsilon$ 차원에서 질량이 하나인 두점 프eynman 적분과 국소 연산자 삽입을 고려한 로렌트 급수 전개를 위한 고급 기계 대수 알고리즘을 제시한다. 다중 적분에 대한 향상된 다변수 Almkvist–Zeilberger 알고리즘과 다중 합에 대한 홀로노믹 차분 필드 프레임워크를 조합함으로써, 멜린 변수 $n$ 에 대한 재귀 관계를 유도하여, 중첩된 합과 곱을 사용한 대수적으로 독립적인 표현으로 $\varepsilon$ 전개의 모든 계수를 압축형으로 표현할 수 있게 한다.

ABSTRACT

Two-point Feynman parameter integrals, with at most one mass and containing local operator insertions in $4+\ep$-dimensional Minkowski space, can be transformed to multi-integrals or multi-sums over hyperexponential and/or hypergeometric functions depending on a discrete parameter $n$. Given such a specific representation, we utilize an enhanced version of the multivariate Almkvist--Zeilberger algorithm (for multi-integrals) and a common summation framework of the holonomic and difference field approach (for multi-sums) to calculate recurrence relations in $n$. Finally, solving the recurrence we can decide efficiently if the first coefficients of the Laurent series expansion of a given Feynman integral can be expressed in terms of indefinite nested sums and products; if yes, the all $n$ solution is returned in compact representations, i.e., no algebraic relations exist among the occurring sums and products.

연구 동기 및 목표

• 질량이 있는 두점 프eynman 적분의 로렌트 급수 전개를 위한 자동화된 기호 계산 방법을 개발한다.
• 초함수 및 초지수 함수를 포함한 다중 합과 다중 적분을 압축된 표현으로 단순화하는 도전 과제를 해결한다.
• 국소 연산자 삽입이 있는 프eynman 적분의 $\varepsilon$ 전개에서 모든 계수를 체계적으로 계산할 수 있도록 한다.
• 차분 필드 이론을 활용하여 합과 곱 간의 대수적 관계가 없는 압축된 형태의 출력을 보장한다.
• 양자장론의 고순서 루프 계산을 위한 완전히 자동화된 계산 파이프라인을 제공한다.

제안 방법

• 논문은 프eynman 매개변수 적분을 이산 멜린 매개변수 $n$ 에 따라 변하는 초함수 및 초지수 함수의 다중 적분 또는 다중 합으로 변환한다.
• 다중 적분에 대한 재귀 관계를 도출하기 위해 다변수 Almkvist–Zeilberger 알고리즘의 향상된 버전을 적용한다.
• 홀로노믹 함수와 차분 필드 이론에 기반한 공통된 합계 프레임워크를 사용하여 다중 합에 대한 재귀 관계를 계산한다.
• 재귀 관계를 해결하여 $\varepsilon$ 에 대한 전체 로렌트 급수 전개를 생성하며, 계수는 비정적 중첩된 합과 곱으로 표현된다.
• 차분 필드 이론을 통해 합과 곱 간의 대수적 관계를 제거함으로써 출력의 압축성을 확보한다.
• MultiIntegrate, Rho, Sigma, HarmonicSums, EvaluateMultiSum 등의 맞춤형 Mathematica 패키지를 사용하여 알고리즘을 완전히 자동화된 방식으로 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 연산자 삽입이 있는 프eynman 적분에서 유도된 다중 적분과 다중 합에 대해 $\varepsilon$ 전개를 위한 재귀 관계를 효율적으로 도출할 수 있는가?
• RQ2 로렌트 급수의 $\varepsilon$ 전개 계수를 압축형, 대수적으로 독립적인 중첩된 합과 곱으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 다변수 Almkvist–Zeilberger 알고리즘은 매개변수 $n$ 과 $\varepsilon$ 를 포함한 다중 적분을 다룰 수 있도록 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 다중 중첩된 합과 곱을 포함한 고순서 루프 도형에 대해 이 방법의 계산 효율성과 확장성은 어떠한가?
• RQ5 이 방법은 실용적인 고순서 루프 계산을 위해 기호 계산 시스템에 완전히 자동화되고 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 고차수까지의 $\varepsilon$ 전개를 성공적으로 계산하며, 계수는 중첩된 합과 곱의 압축형, 대수적으로 독립적인 형태로 표현된다.
• 알고리즘은 최대 7단계의 중첩 깊이를 가진 복잡한 다중 합을 처리할 수 있으며, 이는 질량이 있는 한 개, 질량이 없는 한 개의 페르미온 라인을 가진 3루프 도형의 평가를 통해 입증되었다.
• 특정 3루프 도형에 대해 $\varepsilon$ 전개의 상수항은 $n$ 에 대한 유리 함수와 조화합 $S_1(n)$, $S_2(n)$, $S_3(n)$, $S_{-2}(n)$, $S_{-3}(n)$, $S_{2,1}(n)$, $S_{-2,1}(n)$, $\zeta_2$ 의 조합으로 계산되었다.
• 차분 필드 이론에 의해 최종 표현에서 합과 곱 간의 대수적 관계가 존재하지 않음을 보장한다.
• Sigma, HarmonicSums, EvaluateMultiSum 등의 Mathematica 패키지에 의한 구현은 복잡한 적분에 대한 $\varepsilon$ 전개의 완전한 자동 계산을 가능하게 한다.
• 이 방법은 알려진 함수적 관계를 활용하여 멜린 공간 결과를 복소수 $n$ 으로의 해석적 계속을 허용한다.