[논문 리뷰] Advances in Inequalities of the Schwarz, Gruss and Bessel Type in Inner Product Spaces

Sever S Dragomir|arXiv (Cornell University)|2003. 09. 22.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 24인용 수 58

한 줄 요약

이 독립 연구서는 실수 또는 복소수 내적 공간에서 샤우르, 삼각부등식, 베셀 부등식에 대한 새로운 역부등식을 제시하며, 벡터 또는 함수의 범위에 대한 제약 조건을 사용하여 고전 결과를 날카롭게 개선한다. 정규직교 가족과 n개의 벡터에 대한 그루스 유형의 부등식을 도입하고, 이는 이산 푸리에 및 멀린 변환에 응용되며, 노름과 내적 공간 기법을 통해 적분형과 이산형 부등식을 유도한다. 이는 직교성과 범위 가정을 완화함으로써 이전 연구를 크게 일반화한다.

ABSTRACT

The main aim of this monograph is to survey some recent results obtained by the author related to reverses of the Schwarz, triangle and Bessel inequalities. Some Gruss' type inequalities for orthonormal families of vectors in real or complex inner product spaces are presented as well. Generalizations of the Boas-Bellman, Bombieri, Selberg, Heilbronn and Pecaric inequalities for finite sequences of vectors that are not necessarily orthogonal are also provided. Two extensions of the celebrated Ostrowski's inequalities for sequences or real numbers and the generalization of Wagner's inequality in inner product spaces are pointed out. Finally, some Gruss type inequalities for n-tuples of vectors in inner product spaces and their natural applications for the approximation of the discrete Fourier and Mellin transforms are given as well.

연구 동기 및 목표

• 내적 공간에서 고전적인 샤우르, 삼각부등식, 베셀 부등식에 대한 날카로운 역부등식을 수립하여 기존의 경계를 향상시키는 것.
• 정규직교 가족과 내적 공간에서의 n개의 벡터에 대해 그루스 부등식을 일반화하여, 범위 제약 조건 하에 새로운 경계를 도입하는 것.
• 직교성이 없는 벡터 수열로도 보아스-벨만, 보미에리, 페카리치 등의 고전 부등식을 확장하는 것.
• 측도 공간과 수열을 이용하여 이러한 부등식의 적분형과 이산형을 개발하여 근사 이론에의 응용을 가능하게 하는 것.
• 유도된 부등식을 사용하여 이산 푸리에 및 멀린 변환의 근사에 새로운 응용을 제공하는 것.

제안 방법

• 내적 범위와 벡터 노름에 대한 경계를 사용하여 샤우르 부등식의 덧셈형 및 제곱형 역부등식을 유도한다.
• 등온성 선형 함수와 적분 표현을 적용하여 부등식을 연속적 설정으로 일반화한다.
• 내적의 실수부에 제약을 두어 정규직교 가족에 대한 그루스 부등식의 개선을 도입한다.
• 카우치-슈바르츠 부등식과 노름 분해를 사용하여 내적과 그 투영 사이의 차이를 경계한다.
• 항등식 ⟨x, y⟩ − ∑⟨x, ei⟩⟨ei, y⟩ = ⟨x − ∑⟨x, ei⟩ei, y − ∑⟨y, ei⟩ei⟩를 적용하여 벡터의 이탈을 수직 성분으로 환원한다.
• L²(Ω, K)와 정규직교 함수 가족을 사용하여 이산형 및 적분형 부등식을 힐버트 공간 설정으로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내적 값이 알려진 실수 구간 내에 있을 때 샤우르 부등식에 대한 가장 날카로운 역경계는 무엇인가?
• RQ2 기저 수열의 직교성이 가정되지 않은 정규직교 가족의 그루스 부등식은 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 보아스-벨만 및 보미에리와 같은 고전 부등식은 직교성이 없는 유한한 벡터 수열로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 내적 공간에서 n개의 벡터로 구성된 수열을 사용할 때 이산 푸리에 및 멀린 변환의 근사 오차에 대한 최적의 경계는 무엇인가?
• RQ5 측도론적 가정과 점별 범위 제약 조건 하에서 이러한 부등식의 적분형은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 덧셈형 역부등식이 수립된다: Re⟨(Φe − x), (x − ϕe)⟩ ≥ 0 이면 ‖x‖² ≤ ½(Φ − ϕ)² + |⟨x, e⟩|² 이며, 특정 정렬 조건에서 등호가 성립한다.
• 제곱형 역부등식이 도출된다: 동일한 조건 하에 노름의 제곱과 투영 사이의 차이는 ½(Φ − ϕ)² − |Re⟨(Φe − x), (x − ϕe)⟩|² 으로 경계된다.
• 정규직교 가족 {ei}와 벡터 x, y가 x가 Φiei − x와 x − ϕiei의 실수부에서 유계일 경우, |⟨x, y⟩ − ∑⟨x, ei⟩⟨ei, y⟩| ≤ ½(∑|Φi − ϕi|²)¹ᐟ² × (∥y∥² − ∑|⟨y, ei⟩|²)¹ᐟ² 이 성립한다.
• 함께하는 부등식은 x가 Φi와 ϕi의 중점에서의 이탈을 포함하여 경계를 개선하며, |⟨x, y⟩ − ∑⟨x, ei⟩⟨ei, y⟩| ≤ ½(∑|Φi − ϕi|²)¹ᐟ² × ∥y∥ − (∑|⟨y, ei⟩|²)¹ᐟ² × |⟨x, ei⟩ − ½(Φi + ϕi)|²¹ᐟ² 를 유도한다.
• L²(Ω, K)에서 f(s) ∈ [ϕh(s), Φh(s)] 거의 모든 곳에서 성립하고 ∫|h|²dμ = 1 이면, 이중형식 ∫fḡdμ − ∫f¯hdμ∫hḡdμ의 오차는 ½|Φ − ϕ| × (∫|g|²dμ − |∫hḡdμ|²)¹ᐟ² 으로 경계된다.
• 실수 경우에서 Φh(s) ≥ f(s) ≥ ϕh(s) 거의 모든 곳에서 성립하면 경계는 ½|Φ − ϕ| × (∫|g|²dμ − |∫hḡdμ|²)¹ᐟ² 로 단순화되며, 고전적 그루스 부등식과의 직접적 연결을 보여준다.