[논문 리뷰] Affine Diffusion Processes: Theory and Applications

Damir Filipović, Eberhard Mayerhofer|ArXiv.org|2009. 01. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 엄격한 평균 회귀를 가정하지 않더라도 애फ인 변환 공식이 성립하기 위한 필수 및 필요조건을 체계적으로 정립하는 이론적 기반을 제공한다. 스토크라틱 불변성에 기반한 존재성과 유일성의 증명을 통해 전체 유효 범위를 도출하고, 바시크, CIR, 헤스턴과 같은 모델에서 정확한 옵션 가격 설정이 가능하게 한다.

ABSTRACT

We revisit affine diffusion processes on general and on the canonical state space in particular. A detailed study of theoretic and applied aspects of this class of Markov processes is given. In particular, we derive admissibility conditions and provide a full proof of existence and uniqueness through stochastic invariance of the canonical state space. Existence of exponential moments and the full range of validity of the affine transform formula are established. This is applied to the pricing of bond and stock options, which is illustrated for the Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross and Heston models.

연구 동기 및 목표

• 일반적이고 캐논컬 상태공간에서의 확산 과정에 대해 애프인 변환 공식이 성립하기 위한 필요 및 충분 조건을 설정하기 위해.
• 캐논컬 상태공간의 스토크라틱 불변성을 통해 애프인 확산 과정의 존재성과 유일성을 해결하기 위해.
• 지난 연구에서 엄격한 평균 회귀를 가정한 바를 초월하여 지수 모멘트와 애프인 변환 공식의 전체 유효 범위를 규명하기 위해.
• 관측 가능한 영향을 유지하는 캐논컬 표현을 통해 애프인 모델의 유일한 표현을 제공하기 위해.
• 무한 가역성과 마코프 반군 이론에 의존하지 않고, 얀다-와타나베 논증을 활용하여 존재성과 유일성에 대한 새로운 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 드리프트 및 확산 계수의 구조를 분석하여 애프인 변환 공식에 대한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 스토크라틱 불변성을 적용하여 허용 가능한 매개변수를 제한함으로써, 과정이 캐논컬 상태공간 $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 내에 머물도록 보장한다.
• 확산 행렬의 블록 대각형 변환을 통해 일반적인 애프인 과정을 상태공간을 유지하는 캐논컬 형태로 감소시킨다.
• 애프인 변환을 지배하는 $\phi$ 및 $\psi$에 대한 연관된 리카티 방정식 시스템을 해결하고, 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 리카티 방정식에 대한 비교 및 볼록성 결과를 활용하여 특성 함수의 해석 영역에 대한 경계를 설정한다.
• 부록에서 리카티 시스템에 대한 존재성과 비교 정리의 자가 포함된 증명을 제공하여 주 결과를 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격한 평균 회귀를 가정하지 않더라도 애프인 확산 과정에 대해 애프인 변환 공식이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 캐논컬 상태공간의 스토크라틱 불변성을 통해 애프인 확산 과정의 존재성과 유일성은 어떻게 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ3 애프인 과정에서 지수 모멘트와 애프인 변환 공식의 전체 유효 범위는 무엇인가?
• RQ4 모든 애프인 확산 과정은 관측 가능한 영향을 유지하는 캐논컬 형태로 유일하게 표현될 수 있는가?
• RQ5 애프인 변환을 지배하는 리카티 시스템의 해는 어떻게 특성화되고 경계가 설정되는가?

주요 결과

• 엄격한 평균 회귀를 요구하지 않으며, 리카티 시스템의 해가 유계이면 모든 $u \in \mathbb{C}^d$ 에서 애프인 변환 공식이 성립한다.
• 캐논컬 상태공간 $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 의 스토크라틱 불변성을 통해 애프인 확산 과정의 존재성과 유일성이 확립되며, 과정이 폭주하거나 상태공간을 이탈하지 않음을 보장한다.
• 특성 함수의 해석 영역이 영점 주변에서 별형(스타-셰이프드)임이 입증되었으며, $\psi$의 폭발은 영역의 경계에 해당한다.
• 확산 행렬은 항상 캐논컬 상태공간을 유지하는 정규 선형 변환을 통해 항상 블록 대각형 형태로 변환 가능하며, 이는 고유한 캐논컬 표현을 가능하게 한다.
• 무한 가역성과 반군 이론에 의존하지 않고 얀다-와타나베 유형의 논증을 활용하여 존재성에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 애프인 변환의 전체 유효 범위는 리카티 해가 폭발하기 이전의 최대 시간 $t_+(u)$ 로 특성화되며, $\psi$의 폭발은 특성 함수의 발산을 의미한다.