[논문 리뷰] Affine Hecke algebras associated to Kac-Moody groups

Howard Garland, I. Grojnowski|arXiv (Cornell University)|1995. 08. 24.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 4인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 카크-무디 군에 대한 애फ인 플라그 다양체의 코탄젠트 번들의 T-불변 K-이론을 통해 체레드니크의 이중 아핀 허크 대수를 기하학적으로 구성한다. 이는 스텐베르그 다양체 접근법을 일반화한 것으로, 핵심 결과는 이중 아핀 허크 대수와 $T^*\mathcal{B} \times T^*\mathcal{B}$ 내의 라그랑주 부분다양체 $\Lambda$ 의 T-불변 K-이론 사이의 위상동형을 확립함으로써 대수와 그 모듈러스의 기하학적 실현을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we give a geometric construction of Cherednik's double affine Hecke algebra. We construct the algebra as the equivariant $K$-theory of the Lagrangian subvariety of the cotangent variety of the square of the flag variety of $G$, the variety being given by the union of the conormal bundles to the $G$-orbits on $\flag imes\flag$. This is a generalisation of work of Kazhdan and Lusztig to the Kac-Moody case, and is suitable for describing a certain class of modules for this algebra. In a paper in preparation we will do this, in the case $G$ is affine (Cherednik's case).

연구 동기 및 목표

• 기하학적 구성: 체레드니크의 이중 아핀 허크 대수를 T-불변 K-이론을 사용하여 기하학적으로 구성하는 것.
• 유한형에서 애फ인 카크-무디 군으로의 스텐베르그 다양체 구성의 확장.
• Gr의 기법을 활용해 무한차원 플라그 다양체 $T^*\mathcal{B}$ 상의 계기층을 정의하는 것.
• 이중 아핀 허크 대수를 T-불변 K-이론 대수로 실현하여 그 모듈러스의 연구를 가능하게 하는 것.
• 애फ인 카크-무디 설정에서 표준 모듈러스와 기약 모듈러스를 분류하는 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 유한형의 경우를 일반화하기 위해 애फ인 카크-무디 군 $G$ 에 대해 플라그 다양체 $\mathcal{B} = G/B$ 와 그 코탄젠트 번들 $T^*\mathcal{B}$ 를 사용한다.
• 라그랑주 부분다양체 $\Lambda \subset T^*\mathcal{B} \times T^*\mathcal{B}$ 를 $G$-오빗들의 코탄젠트 번들의 합집합으로 정의한다.
• $\text{gr}$ 라는 등급 매핑을 통해 $K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ 에서의 상으로서 대수 $\widehat{H}$ 를 구성한다.
• Gr의 기법을 적용하여 $T^*\mathcal{B}$ 상의 계기층을 정의함으로써 혼합 호지 모듈러스와 분해 정리의 사용을 가능하게 한다.
• $P_i$-안정적 적합 삼중항을 사용하여 혼합 호지 모듈러스의 필터링된 카테고리들을 정의하고, $C_i'$ 함자들을 통해 허크 대수의 작용을 구성한다.
• 브루아 타입 순서에 의한 $K$-이론의 필터링과 정확한 수열, 기저 변경을 이용하여 $\widehat{H} \to K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ 의 위상동형을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카크-무디 군에 대한 애फ인 플라그 다양체의 코탄젠트 번들의 라그랑주 부분다양체에 대한 T-불변 K-이론으로서 체레드니크의 이중 아핀 허크 대수를 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 유한형의 구조가 없기 때문에 무한차원 플라그 다양체 상의 계기층은 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 $P_i$-안정적 적합 삼중항이 $\widehat{H}$ 의 대수적 구조를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 허크 대수 $H$ 와 군 대수 $\mathbb{C}[X]$ 가 T-불변 K-이론 설정에서 어떻게 조합되어 $\widehat{H}$ 를 정의하는가?
• RQ5 이 맥락에서 체레드니크의 '푸리에 변환'의 기하학적 의미는 무엇이며, 왜 비자명한가?

주요 결과

• 이중 아핀 허크 대수 $\widehat{H}$ 는 $T^*\mathcal{B} \times T^*\mathcal{B}$ 내의 라그랑주 부분다양체 $\Lambda$ 에 대한 T-불변 K-이론 $K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ 와 위상동형이다.
• 이 구성은 애फ인 카크-무디 군으로의 스텐베르그 다양체 접근법의 일반화로, 아핀 허크 대수의 기하학적 실현을 확장한다.
• $\widehat{H}$ 의 작용은 $\mathbb{P}^1$-포장에 沿한 당김과 밀림을 통해 정의된 함자 $C_i'$ 를 통해 유도된다.
• $\text{gr}: \mathbb{H} \to K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ 는 필터링이 브루아 타입 순서에 의해 유도되며, 이에 대응하는 계수는 $\mathcal{B}_w$ 의 K-이론과 일치한다.
• $T_s = \bar{C}_s' - 1$ 인 연산자들은 정의 관계 $fT_s - T_s^s f = (q-1)\frac{f - {}^s f}{1 - e^{-\alpha}}$ 를 만족하여 $\widehat{H}$ 의 대수적 구조를 확인한다.
• $\mathcal{B}^s_n$ 상의 $T \times \mathbb{C}^*$ 의 고정점에서 유도된 표준 모듈러스는 유리형이 아니어도 $\widehat{H}$ 의 작용을 지닌다. 이는 풍부한 표현 이론을 암시한다.