[논문 리뷰] Affine Jump-Diffusions: Stochastic Stability and Limit Theorems

Xiaowei Zhang, Peter W. Glynn|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 강한 평균 회귀 조건과 점프의 모멘트 제약 조건 하에서 아핀 점프-확산(AJD) 과정의 스토하스틱 안정성과 극한 정리들을 수립한다. 이는 에르고딕성과 지수 에르고딕성에 대한 충분조건을 도출함으로써, 금융 및 경제학에서 사용되는 AJD 모델의 통계적 추정을 위한 기초적인 점근 이론을 제공한다. 추가 함수에 대한 거의확실 수렴과 함수 central limit 정리들을 증명함으로써, AJD 과정의 통계적 추정 이론을 구축한다.

ABSTRACT

Affine jump-diffusions constitute a large class of continuous-time stochastic models that are particularly popular in finance and economics due to their analytical tractability. Methods for parameter estimation for such processes require ergodicity in order establish consistency and asymptotic normality of the associated estimators. In this paper, we develop stochastic stability conditions for affine jump-diffusions, thereby providing the needed large-sample theoretical support for estimating such processes. We establish ergodicity for such models by imposing a `strong mean reversion' condition and a mild condition on the distribution of the jumps, i.e. the finiteness of a logarithmic moment. Exponential ergodicity holds if the jumps have a finite moment of a positive order. In addition, we prove strong laws of large numbers and functional central limit theorems for additive functionals for this class of models.

연구 동기 및 목표

• 금융 및 경제학에서 사용되는 아핀 점프-확산(AJD) 모델의 매개변수 추정을 위한 엄밀한 대표본 이론적 기반을 제공하는 것.
• AJD 과정이 에르고딕성과 지수 에르고딕성을 만족하는 조건을 수립하여 정적 분포의 존재를 보장하는 것.
• AJD 과정의 추가 함수에 대해 강한 대수법칙(SLLN)과 기능 중심극한정리(FCLT)를 도출하는 것.
• 상태에 따라 변화하는 점프를 포함하고 임의의 차원으로 확장함으로써 이전의 아핀 확산 결과를 일반화하는 것.
• 헤스톤 모델, CIR, OU 과정 등의 특수 케이스에 대한 기존 안정성 결과를 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 강한 평균 회귀 조건 하에서 AJD 과정의 스토하스틱 안정성과 에르고딕성을 확보하기 위해 라플라스 함수 기법을 사용한다.
• 에르고딕성을 확보하기 위해 점프 분포에 로그 모멘트 조건을 도입하고, 지수 에르고딕성을 확보하기 위해 양의 모멘트 조건을 설정한다.
• 마코프 과정 이론과 세미마르팅글의 극한 이론을 적용하여 정규화된 추가 함수의 수렴을 브라운 운동으로의 약한 수렴으로 도출한다.
• 불변 측도와 전이 핵함수를 활용한 커플링 추론을 통해 경험 과정의 약한 수렴을 증명한다.
• 아핀 구조를 활용하여 h(x) = x 인 특수 케이스에서 점근 평균과 분산의 명시적 표현을 유도한다.
• 일반화된 리카티 방정식의 해와 모멘트 생성 함수 분석을 활용하여 장기적 행동을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 점프-확산 과정이 언제 에르고딕성이 되는가?
• RQ2 점프 분포에 어떤 모멘트 조건이 지수 에르고딕성을 보장하는가?
• RQ3 AJD 과정의 추가 함수에 대해 언제 강한 대수법칙과 기능 중심극한정리가 성립하는가?
• RQ4 이전의 순수 확산 아핀 과정에 대한 결과나 헤스톤 모델과 같은 특수 케이스에 비해 결과는 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 아핀 구조 하에서 경험 평균의 점근 분포를 해석적으로 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 아핀 점프-확산 과정은 드리프트가 강한 평균 회귀를 보이고 점프 분포의 로그 모멘트가 유한할 경우 에르고딕성이 성립한다.
• 점프 분포의 어떤 양의 순서 모멘트가 유한할 경우 지수 에르고딕성이 성립한다.
• 강한 대수법칙이 성립한다: 추가 함수의 경험 평균은 거의확실하게 불변 측도의 기대값으로 수렴한다.
• 기능 중심극한정리가 성립한다: 정규화된 경험 과정은 cadlag 함수 공간에서 브라운 운동으로 약하게 수렴한다.
• 항등 함수 h(x) = x 인 경우, 점근 평균은 v = -(β + E[Z]κᵀ)⁻¹(b + λE[Z])로 명시적으로 주어지고, 점근 공분산 행렬은 Σ = A(a + λE[ZZᵀ])Aᵀ + Σᵢ vᵢ A(αᵢ + κᵢE[ZZᵀ])Aᵀ로 주어진다.
• 경험 측도의 불변 측도로의 수렴은 초기 조건에 대해 균일하므로, 다양한 초기 상태에서의 추정기의 안정성이 보장된다.