[논문 리뷰] Affine LPV systems: realization theory, input-output equations and relationship with linear switched systems

Mihály Petreczky, Guillaume Mercère외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 03.

Advanced Control Systems Optimization인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 이산시간 아핀 선형 계수 변화형(LPV) 시스템에 대해 칼만 스타일의 실현 이론을 수립하며, 입력-출력 맵이 특정 종류의 아핀 다항식 입력-출력 방정식을 만족할 경우에만 아phin LPV 실현이 가능하다는 것을 보여준다. 이 이론은 실현 문제를 선형 스위치 시스템 문제로 환원하여, 헨켈 행렬의 질량 조건을 통한 특성화를 가능하게 하며, 유한한 헨켈 부분행렬 크기의 제약 조건 하에 정확성이 보장되는 칼만-호 방법 기반의 구축 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

We formulate a Kalman-style realization theory for discrete-time affine LPV systems. By an affine LPV system we mean an LPV system whose matrices are affine functions of the scheduling parameter. In this paper we characterize those input-output behaviors which exactly correspond to affine LPV systems. In addition, we characterize minimal affine LPV systems which realize a given input-output behavior. Furthermore, we explain the relationship between Markov-parameters, Hankel-matrices, existence of an affine LPV realization and minimality. The results are derived by reducing the problem to the realization problem for linear switched systems. In this way, as a secondary contribution, we formally demonstrate the close relationship between LPV systems and linear switched systems. In addition we show that an input-output map has a realization by an affine LPV system if and only if it satisfies certain types of input-output equations.

연구 동기 및 목표

• 이산시간 아핀 LPV 시스템에 대해 선형 시간 불변 시스템의 칼만 이론과 유사한 실현 이론을 개발한다.
• 입력-출력 행동이 아핀 LPV 시스템에 의해 실현 가능한지를 아phin 다항식 입력-출력 방정식과 헨켈 행렬 질량 조건을 통해 특성화한다.
• 아핀 LPV 시스템의 실현 문제와 선형 스위치 시스템의 실현 문제 사이의 동치성을 확립하며, 후자의 기존 결과를 활용한다.
• 칼만-호 방법을 기반으로 입력-출력 데이터로부터 최소 아핀 LPV 실현을 계산하는 구축 알고리즘을 제공한다.
• 아핀 LPV 시스템에서 최소성, 접근 가능성, 관측 가능성, 동형성 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 실현이 존재한다는 가정 없이, 입력-출력 맵으로부터 직접 마코프 매개변수와 헨켈 행렬을 정의한다.
• 입력-출력 맵이 아핀 LPV 실현을 가질 조건은 그 헨켈 행렬의 질량이 유한함과 동치임을 증명한다.
• 칼만-호 알고리즘을 사용하여 헨켈 행렬에서 실현을 계산하며, 부분행렬 크기의 상한이 정확성을 보장한다.
• 형식 (9)과 같은 아핀 다항식 입력-출력 방정식을 도입하여, 실현 가능성과 이러한 방정식의 만족이 동치임을 보인다.
• 형식적 동치를 통해 아핀 LPV 시스템의 실현 문제를 선형 스위치 시스템의 실현 문제로 환원한다.
• 최소 실현이 매개변수에 의존하지 않는 상태 변환을 통해 서로 동형이며, 최소성과 접근 가능성 및 관측 가능성의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 종류의 입력-출력 행동이 아핀 LPV 시스템에 의해 실현 가능한가?
• RQ2 헨켈 행렬에 어떤 조건이 성립하면 아핀 LPV 실현이 존재하는가?
• RQ3 아핀 LPV 시스템에서 접근 가능성, 관측 가능성, 최소성 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 어떤 종류의 입력-출력 방정식이 아핀 LPV 시스템을 특성화하는가?
• RQ5 아핀 LPV 시스템과 선형 스위치 시스템의 실현 문제 사이에 형식적인 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 입력-출력 맵이 아핀 LPV 실현을 가질 조건은 그 헨켈 행렬의 질량이 유한함과 동치이다.
• 충분히 큰 헨켈 부분행렬을 사용할 경우, 칼만-호 알고리즘이 정확한 아핀 LPV 실현을 계산할 수 있으며, 크기의 상한이 제공된다.
• 최소 아핀 LPV 실현은 상호 동형이며, 최소성은 접근 가능성과 관측 가능성과 동치이다.
• 입력-출력 맵이 아핀 다항식 입력-출력 방정식 (9)의 형태를 만족할 경우에만 아핀 LPV 시스템에 의해 실현 가능하다.
• 아핀 LPV 시스템의 실현 문제는 선형 스위치 시스템의 실현 문제와 형식적으로 동치이며, 이로 인해 기존 결과를 이전할 수 있다.
• 이동된 입력-출력 맵의 공간 $\mathcal{W}_f = \mathrm{Span}\{f^{\underline{p}}\}$ 는 아핀 LPV 시스템에 의해 실현 가능할 때이고, 그때에만 유한 차원이 된다.