[논문 리뷰] Affine partitions and affine Grassmannians

Sara Billey, Stephen Α. Mitchell|ArXiv.org|2008. 03. 25.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아핀 웨일 군의 몫에 속하는 원소들과 아핀 파artitions라 불리는 새로운 조합적 대상 사이의 전단사 관계를 수립한다. 아핀 파artitions는 표준 세그먼트 분해에서 유도된 색이 칠해진 파artitions이다. 주요 기여는 아핀 그라스만يان에서 유리적으로 부드러운 슈부르트 다양체를 이 아핀 파artitions와 일반화된 양의 격자로 특성화하는 것으로, 이 격자는 약한 순서를 정밀화하고 브루하트 순서를 포함한다. 이는 모든 고전적 및 예외적 유형에서 분할 항등식과 기하학에 응용되며, 특히 A 유형 외의 설정에서 새로운 항등식을 제공한다.

ABSTRACT

We give a bijection between certain colored partitions and the elements in the quotient of an affine Weyl group modulo its Weyl group. By Bott's formula these colored partitions give rise to some partition identities. In certain types, these identities have previously appeared in the work of Bousquet-Melou-Eriksson, Eriksson-Eriksson and Reiner. In other types the identities appear to be new. For type $A_{n}$, the affine colored partitions form another family of combinatorial objects in bijection with $n+1$-core partitions and $n$-bounded partitions. Our main application is to characterize the rationally smooth Schubert varieties in the affine Grassmannians in terms of affine partitions and a generalization of Young's lattice which refines weak order and is a subposet of Bruhat order. Several of the proofs are computer assisted.

연구 동기 및 목표

• 아핀 웨일 군 몫 $\widetilde{W}/W$ 의 최소 길이 코스레트 대표자들 $\widetilde{W}^S$ 와 새로운 종류의 색이 칠해진 파artitions인 아핀 파artitions 사이의 조합적 전단사 관계를 수립하기 위해.
• 아핀 파artitions의 프레임워크를 사용하여 $A_n$ 유형에서의 $k$-코어, $k$-유계, 그리고 스케일 파artitions와 관련된 기존의 전단사 관계를 통합하고 일반화하기 위해.
• 아핀 파artitions 위에 약한 순서를 정밀화하고 브루하트 순서를 포함하는 일반화된 양의 격자를 개발하여, 유리적으로 부드러운 슈부르트 다양체의 새로운 기하-조합적 특성화를 가능하게 하기 위해.
• 전단사 관계를 통해 Bott의 공식을 통해 분할 항등식을 유도하고, Bousquet-Mélou–Eriksson 및 Reiner의 알려진 결과를 모든 유형, 특히 A 유형 외의 설정에서 새로운 것으로 확장하기 위해.
• 모든 유형에서 일관되게, 아핀 파artitions의 조합론과 일반화된 양의 격자의 순서론적 성질을 사용하여 아핀 그라스만ian에서 유리적으로 부드러운 슈부르트 다양체를 유형 독립적으로 특성화하기 위해.

제안 방법

• 유한 웨일 군의 작용과 다인킨 다이어그램의 자기동형사상에서 유도된 세그먼트로 $\widetilde{W}^S$ 원소의 표준 분해를 구성하기 위해.
• 각 부분이 세그먼트와 연관된 색이 칠해진 파artitions로 아핀 파artitions를 정의하고, $\widetilde{W}^S$ 에서 아핀 파artitions 집합으로의 길이를 유지하는 맵을 보존하는 방식으로 정의하기 위해.
• 세그먼트 단위의 지배성과 순서 관계를 사용하여, 왼쪽 약한 순서를 정밀화하고 브루하트 순서를 포함하는 아핀 파artitions 위의 일반화된 양의 격자를 도입하기 위해.
• 전단사 관계를 통해 슈부르트 다양체의 기하적 성질(예: 유리적으로 부드러움)을 아핀 파artitions 위의 조합적 조건으로 번역하기 위해.
• 아핀 그라스만يان의 Poincaré 다항식에 대한 Bott의 공식을 활용하여 분할 항등식을 도출하고, 생성함수를 $P_{\widetilde{W}^S}(t) = \prod_{i=1}^n (1 - t^{e_i})^{-1}$ 로 표현하기 위해, 여기서 $e_i$ 는 $W$ 의 지수이다.
• 특히 $A_n$ 및 예외적 유형에서 조합론적 및 순서론적 성질을 확인하기 위해 컴퓨터 보조 검증을 적용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 웨일 군 몫 $\widetilde{W}/W$ 의 최소 길이 코스레트 대표자들 $\widetilde{W}^S$ 는 자연스러운 조합적 대상의 가족으로 어떻게 전단사적으로 매핑될 수 있는가?
• RQ2 약한 순서를 정밀화하고 브루하트 순서를 포함하는 아핀 파artitions 위의 일반화된 양의 격자의 구조는 어떠한가?
• RQ3 아핀 파artitions의 조합론은 아핀 그라스만ian에서 슈부르트 다양체의 기하학, 특히 유리적으로 부드러움을 어떻게 반영하는가?
• RQ4 Bott의 공식을 통해 아핀 파artitions 전단사 관계를 통해 유도되는 새로운 분할 항등식은 무엇이며, $A_n$, $B_n$, $C_n$, $D_n$, $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$ 유형에서 알려진 항등식과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 모든 유형에서 일관되게, 아핀 파artitions와 그 순서론적 성질을 사용하여 유리적으로 부드러운 슈부르트 다양체를 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 세그먼트 분해에서 유도된 색이 칠해진 파artitions로 구성된 각 원소가 대응되는 아핀 파artitions와 $\widetilde{W}^S$ 원소 사이의 전단사 관계가 수립되었으며, 길이를 유지하고 조합적 분석이 가능하다.
• 아핀 파artitions 위의 일반화된 양의 격자는 왼쪽 약한 순서를 정밀화하고 브루하트 순서를 포함하며, 아핀 그라스만ian에서 슈부르트 다양체의 계층을 포착하는 새로운 부분순서 집합을 제공한다.
• 논문은 유리적으로 부드러운 슈부르트 다양체의 새로운 특성화를 제공한다: $X_w$ 는 유일하게 순서가 매겨진 하위 순서 이상집합 $\{v \in \widetilde{W}^S : v \leq w\}$ 을 갖는다, 또는 $w$ 가 닫힌 파라보릭 궤도이다, 또는 $A_n$ 유형에서 뱀형이다, 또는 $B_3$ 유형에서 특정 원소이다.
• Bott의 공식을 통해 유도된 새로운 분할 항등식이 도출되었으며, Bousquet-Mélou–Eriksson 및 Reiner의 기존 결과를 모든 유형으로 확장하였고, $B_n$, $C_n$, $D_n$, $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$ 유형에서의 항등식은 이전에 알려지지 않은 것으로 보인다.
• $A_n$ 유형에서 아핀 파artitions는 $n+1$-코어 파artitions, $n$-유계 파artitions, 긴 후크가 없는 스케일 형태를 포함하는 잘 알려진 가족들을 통합하는 새로운 조합적 프레임워크를 제공하며, 이러한 가족들에 대한 새로운 시각을 제공한다.
• 아핀 그라스만يان의 Poincaré 다항식이 $P_{\widetilde{W}^S}(t) = \prod_{i=1}^n (1 - t^{e_i})^{-1}$ 로 주어지며, 여기서 $e_i$ 는 유한 웨일 군 $W$ 의 지수임을 확인하였고, 이 생성함수는 아핀 파artitions 모델을 통해 실현됨을 보였다.