[논문 리뷰] Affine planes, ternary rings, and examples of non-Desarguesian planes

Nikolai V. Ivanov|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 18.

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한 줄 요약

이 논문은 삼항환을 사용하여 애핀 평면과 그 좌표계에 대한 자가 포함된 서술을 제시한다. 삼항 연산을 위한 새로운 표기 ⟨ax+b⟩를 도입하며, 이는 비디아그레스 방식이 아닌 평면을 생성하는 데 사용된다. 좌측 또는 우측 쿼드라필드에서 비결합성 또는 비분배성을 갖는 곱셈을 가진 비디아그레스 방식이 아닌 평면을 구성함으로써, 어떤 스칼라필드로 정의된 평면과도 동형이 되지 않는 애핀 평면을 제공함으로써, 비디아그레스 기하학의 명시적 예를 제시한다.

ABSTRACT

The paper is devoted to a detailed self-contained exposition of a part of the theory of affine planes leading to a construction of affine (or, equivalently, projective) planes not satisfying the Desarques axiom. It is intended to complement the introductory expositions of the theory of affine and projective planes. A novelty of our exposition is a new notation for the ternary operation in a ternary ring, much more suggestive than the standard one.

연구 동기 및 목표

• 삼항환을 사용한 애핀 평면과 그 대수적 좌표화에 대한 포괄적이고 자가 포함된 서술을 제공하는 것.
• 비디아그레스 방식의 평면이 스칼라필드로 정의된 좌표계가 아닌 경우에 어떻게 발생하는지 보여줌으로써 조합기하학과 추상대수학 사이의 격차를 메우는 것.
• 삼항환의 삼항 연산을 위한 더 직관적인 새로운 표기 ⟨ax+b⟩를 도입하여 이론의 접근성을 향상시키는 것.
• 비결합성 또는 비분배성을 갖는 곱셈을 가진 좌측 및 우측 쿼드라필드를 사용하여 비디아그레스 방식의 애핀 평면을 명시적으로 구성하는 것.
• 이러한 평면이 어떤 스칼라필드로도 좌표화될 수 없음을 보여주어 그 비디아그레스 성격을 증명하는 것.

제안 방법

• 애핀 평면을 공리적으로 정의하고, 모든 애핀 평면이 삼항환 위의 좌표계를 갖는다는 것을 증명한다.
• 기존의 (a,x,b)↦x·a∘b 표기 방식을 대체하여 삼항 연산을 더 명확하고 직관적으로 표현하기 위해 새로운 표기 ⟨ax+b⟩를 도입한다.
• 삼항환과 그에 대응하는 애핀 평면 사이의 동형 및 이소토피 조건을 수립한다.
• 갈루아 이론을 사용하여 유한 자기동형군을 갖는 체 확장을 구성함으로써, 비결합성 또는 비분배성을 갖는 쿼드라필드를 생성한다.
• 정리 12, 17, 19를 적용하여 좌측 또는 우측 쿼드라필드에서 대수적 성질이 결함이 있는 애핀 평면이 어떤 스칼라필드로 정의된 평면과도 동형이 되지 않음을 보여준다.
• 자기동형군으로부터의 호모모르피즘 φ를 사용하여 자동형을 통해 좌측 앤드레 쿼드라필드를 구성함으로써 비결합성 또는 우측 분배법칙의 실패를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 삼항환을 사용하여 애핀 평면을 좌표화할 수 있으며, 그 삼항환의 대수적 성질은 기하학적 공리와 어떤 관련이 있는가?
• RQ2 삼항환의 어떤 조건이 해당 애핀 평면이 디아그레스 공리를 만족하도록 보장하는가?
• RQ3 스칼라필드 이외의 대수적 구조를 사용하여 비디아그레스 방식의 애핀 평면을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 자기동형과 갈루아 이론적 구성은 비결합성 또는 비분배성을 갖는 쿼드라필드를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 어떤 조건에서 쿼드라필드로 정의된 평면이 어떤 스칼라필드로 정의된 평면과도 동형이 되지 않는가?

주요 결과

• 스칼라필드로 정의된 평면은 디아그레스 공리를 만족하며, 반대로 디아그레스 공리를 만족하는 평면은 스칼라필드 좌표계를 갖는다.
• 삼항환의 삼항 연산을 위한 새로운 표기 ⟨ax+b⟩는 삼항환 이론의 가독성과 접근성을 향상시킨다.
• 비결합성 곱셈을 갖는 좌측 앤드레 쿼드라필드로 정의된 애핀 평면은 어떤 스칼라필드로 정의된 평면과도 동형이 되지 않으며, 따라서 비디아그레스 방식이다.
• 우측 분배법칙이 실패하는 좌측 쿼드라필드로 정의된 평면 역시 스칼라필드로 좌표화될 수 없기에 비디아그레스 방식이며, 이는 비디아그레스 성격을 갖는다.
• 좌측 분배법칙이 실패하는 우측 쿼드라필드로 정의된 평면 역시 비디아그레스 방식의 평면을 생성한다. 이는 정리 17과 좌측 쿼드라필드 평면과의 동형이 불가능함을 통해 보여진다.
• 갈루아 이론적 방법으로 자기동형군과 호모모르피즘 φ를 선택함으로써 이러한 평면의 명시적 구성이 가능해지며, 이는 비결합성 또는 비분배성을 갖는 대수적 구조를 가능하게 한다.