[논문 리뷰] Affine quiver Schur algebras and $p$-adic $GL_n$

Vanessa Miemietz, Catharina Stroppel|UEA Digital Repository (University of East Anglia)|2016. 01. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 $\mathrm{GL}_n$에 대한 완비화된 아핀 슈어 대수와 순환 쿠위에 관련된 쿠위 슈어 대수 사이의 명시적 동형사상 수립을 통해 숨겨진 그레디에이션과 기하적 구조를 드러낸다. 이 동형사상은 쿠위 플래그 다양체 위의 컨볼루션 대수를 통해 구성되며, 무자리 블록의 최저 차원을 기하학적으로 실현하고, KLR 대수 프레임워크에 적합한 기저를 대수에 부여한다. 이는 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$, $\ell=3$의 경우에 검증된다.

ABSTRACT

In this paper we consider the (affine) Schur algebra introduced by Vignéras as the endomorphism algebra of certain permutation modules for the Iwahori-Matsumoto Hecke algebra. This algebra describes, for a general linear group over a $p$-adic field, a large part of the unipotent block over fields of characteristic different from $p$. We show that this Schur algebra is, after a suitable completion, isomorphic to the quiver Schur algebra attached to the cyclic quiver. The isomorphism is explicit, but nontrivial. As a consequence, the completed (affine) Schur algebra inherits a grading. As a byproduct we obtain a detailed description of the algebra with a basis adapted to the geometric basis of quiver Schur algebras. We illustrate the grading in the explicit example of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$ in characteristic $3$

연구 동기 및 목표

• 특성 $\ell \neq p$인 체 위에서 $p$-진 $\mathrm{GL}_n$의 표현 이론에서 무자리 블록의 최저 차원에 대한 기하학적 실현을 제공한다.
• 아이와호리-마츠모토 헤이크 대수 위의 순열 모듈러스의 직합의 내부자기사상 대수로 유도되는 완비화된 아핀 슈어 대수가 순환 쿠위에 관련된 쿠위 슈어 대수와 동형임을 보인다.
• 완비화된 아핀 슈어 대수에 그레디에이션과 쿠위 슈어 대수의 기하 기저에 적합한 기저를 도입한다.
• 쿠위 히브 대수와 동치공학 코homology를 통해 힐 대수의 분류를 $p$-진 설정으로 확장한다.

제안 방법

• 아이와호리-마츠모토 헤이크 대수 $H = k[I\backslash G/I]$ 위의 순열 모듈러스 직합의 내부자기사상 대수로 아핀 슈어 대수 $S$를 구성한다.
• 자명 표현에 관련된 중심 특성에 의해 생성되는 이상수에 대해 $S$를 완비화하여 $\widehat{S}$를 얻는다.
• 순환 쿠위의 플래그된 니르포텐트 표현에 관련된 스텐베르크 유형 다양체 $Z(\hat{\lambda}, \hat{\mu})$의 $\mathrm{GL}_d(\mathbb{C})$-동차 보렐-무어 호모로지의 직합으로 쿠위 슈어 대수 $A_d$를 실현한다.
• 이 다양체의 기하학을 이용해 $A_d$ 위에 컨볼루션 곱을 정의하며, KLR 대수의 구조를 모방한다.
• 충실한 표현과 중심 원소를 대응시켜 $\widehat{S}$와 완비화된 쿠위 슈어 대수 $\widehat{A}_d$ 사이의 명시적 대수 동형사상을 수립한다.
• 특수한 경우인 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$에서의 특성 3에서 동형사상을 검증하여, Ext-쿠위와 관계가 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비화된 아핀 슈어 대수 $\widehat{S}$는 순환 쿠위에서 유도된 쿠위 슈어 대수와 동형인가?
• RQ2 아핀 슈어 대수는 쿠위 슈어 대수의 구조에서 유도된 그레디에이션을 물려받을 수 있는가?
• RQ3 쿠위 플래그 다양체와 동치공학 코homology의 기하적 구조는 $p$-진 $\mathrm{GL}_n$의 표현 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$, $\ell=3$ 예시에서 무자리 블록의 Ext-쿠위와 쿠위 히브 대수의 관계는 정확히 어떻게 되는가?
• RQ5 이 동형사상은 헤이크 대수가 확장된 아핀 웨일 군의 군 대수로 변하는 $q=1$의 특수한 경우로도 확장되는가?

주요 결과

• 완비화된 아핀 슈어 대수 $\widehat{S}$는 $e$개 정점으로 이루어진 순환 쿠위에 관련된 완비화된 쿠위 슈어 대수 $\widehat{A}_d$와 동형이며, 여기서 $e$는 $q$를 $\ell$에 대해 모듈로한 순서이다.
• 이 동형사상은 컨볼루션 대수의 구조를 통해 쿠위 슈어 대수의 그레디에이션을 유도함으로써 $\widehat{S}$에 자연스러운 $\mathbb{Z}$-그레디에이션을 제공한다.
• $\widehat{S}$는 스텐베르크 유형 다양체 $Z(\hat{\lambda}, \hat{\mu})$의 동치공학 보렐-무어 호모로지에서 유도된 쿠위 슈어 대수의 기하 기저에 적합한 기저를 갖는다.
• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$의 특성 3인 경우, 무자리 블록의 Ext-쿠위가 명시적으로 계산되며, 쿠위 히브 대수의 관계와 일치한다. 중심 원소 $z = x_{1,1} + x_{2,1}$는 기재된 관계를 만족한다.
• $q=1$의 특수한 경우, 동형사상은 $\widehat{S}_{q=1} \cong \widehat{A}_n$로 확장되며, 쿠위 히브 대수 $R_n$이 $\widehat{S}_{q=1}$의 부분대수로 식별되고, $C[[x_1, \dots, x_n]]$ 위에 충실한 표현이 구성된다.