[논문 리뷰] Aggregation functions for decision making

Jean‐Luc Marichal|ArXiv.org|2009. 01. 27.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 91인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 의사결정 과정에서 사용되는 집합 함수의 선택과 특성화를 위한 공리적 프레임워크를 제시하며, 다양한 측정 척도 하에서의 성질에 초점을 맞춘다. 이는 순서 척도에서 의미 있는, 비감소 또는 연속적인 함수의 핵심 가족으로 래티스 다항식 및 그 변환을 규명하며, 대칭 래티스 다항식은 중앙값과 같은 순서 통계와 동일하다.

ABSTRACT

Aggregation functions are generally defined and used to combine several numerical values into a single one, so that the final result of the aggregation takes into account all the individual values in a given manner. Such functions are widely used in many well-known disciplines such as statistics, economics, finance, and computer science. In this paper we confine ourselves to the use of aggregation functions in decision making.

연구 동기 및 목표

• 의사결정적 맥락에서 사용되는 집합 함수의 체계적 공리적 분류를 제공하는 것.
• 특히 순서 척도, 간격 척도, 비율 척도에서 특정 측정 척도 하에서 의미 있는 집합 함수를 규명하는 것.
• 입력과 출력의 순서적 구조를 유지하는 비감소 또는 연속적인 집합 함수를 특성화하는 것.
• 순서 척도 하에서 의미 있는 집합 함수를 모델링하는 데 있어 래티스 다항식과 그 변환의 역할을 명확히 하는 것.
• 대칭성과 등가성 조건 하에서 집합 함수가 순서 통계나 변환된 투영으로 줄어드는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 연속성, 대칭성, 단조성, 척도 불변성 등의 성질에 기반해 집합 함수를 공리적 방법으로 분류하는 데 사용한다.
• 함수의 행동이 척도의 허용 가능한 변환에 대해 불변하도록 보장하기 위해 의미성 개념을 적용한다.
• 변수에 대한 최소값과 최대값 연산으로 구성된 표현식인 래티스 다항식을 사용해 함수를 특성화한다.
• 래티스 다항식의 구조를 논리합 표준형으로 표현하기 위해 퍼지 측도(γ ∈ Γ_N)의 사용을 도입한다.
• 래티스 다항식에 대한 변환 g: ℝ → ℝ의 영향을 분석하여 의미 있는 함수의 범주를 일반화한다.
• choquet 및 sugeno 적분의 결과를 적용하여 비가산 측도 하에서 고전적 집합 방식을 통합하고 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력과 출력이 동일한 순서 척도로 측정될 때 어떤 집합 함수가 의미 있는가?
• RQ2 순서 척도 하에서 비감소 또는 연속적인 집합 함수는 어떻게 완전히 특성화될 수 있는가?
• RQ3 래티스 다항식은 순서 변환에 대해 불변인 집합 함수를 표현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 집합 함수가 순서 통계(예: 중앙값) 또는 그 변환으로 줄어드는 조건은 무엇인가?
• RQ5 대칭성과 등가성이 순서 척도에서 의미 있는 집합 함수의 범주를 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 동일한 입력-출력 순서 척도에서 비감소적이며 의미 있는 집합 함수는 어떤 γ ∈ Γ_N에 대해 래티스 다항식 L_γ이다.
• 동일한 입력-출력 순서 척도에서 연속적이며 의미 있는 집합 함수는 정확히 래티스 다항식 L_γ이다.
• 상수 또는 엄격히 단조 증가하는 함수 g에 의해 변환된 비감소적이며 의미 있는 함수는 A = g ∘ L_γ의 형태를 가진다.
• 순서 척도 하에서 연속적이며 의미 있는 함수는 정확히 g가 연속적이며 엄격히 단조 증가하는 조건에서 A = g ∘ L_γ의 형태를 가진다.
• 대칭적이며 비감소적이며 의미 있는 순서 척도에서의 함수는 어떤 k ∈ N과 g가 상수이거나 엄격히 증가하는 경우 g ∘ OS_k와 동일하다.
• 대칭적이며 연속적이며 의미 있는 순서 척도에서의 함수는 정확히 g가 연속적이며 엄격히 단조 증가하는 조건에서 A = g ∘ OS_k의 형태를 가진다.