[논문 리뷰] Aitchison's Compositional Data Analysis 40 Years On: A Reappraisal

Michael Greenacre, Eric Grunsky외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 13.

Geochemistry and Geologic Mapping인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Aitchison의 구성 데이터 분석(CoDA)이 기초를 다진 지 40년이 지난 지금, 정확한 부분조합 일관성과 등장성은 엄격히 필요하지 않으며, 준일관성과 준등장성이 실용적으로는 충분하다고 주장한다. 간단한 변환 방법인 쌍별 로그비와 Box-Cox 거듭제곱 변환법이 지질학적 및 게놈 데이터에서 복잡한 등장성 로그비 방법과 동일한 성능을 보임을 보여주며, 등장성 변환이 유효한 CoDA를 위해 반드시 필요하다는 광범위한 가정에 도전한다.

ABSTRACT

The development of John Aitchison's approach to compositional data analysis is followed since his paper read to the Royal Statistical Society in 1982. Aitchison's logratio approach, which was proposed to solve the problematic aspects of working with data with a fixed sum constraint, is summarized and reappraised. It is maintained that the properties on which this approach was originally built, the main one being subcompositional coherence, are not required to be satisfied exactly -- quasi-coherence is sufficient, that is near enough to being coherent for all practical purposes. This opens up the field to using simpler data transformations, such as power transformations, that permit zero values in the data. The additional property of exact isometry, which was subsequently introduced and not in Aitchison's original conception, imposed the use of isometric logratio transformations, but these are complicated and problematic to interpret, involving ratios of geometric means. If this property is regarded as important in certain analytical contexts, for example unsupervised learning, it can be relaxed by showing that regular pairwise logratios, as well as the alternative quasi-coherent transformations, can also be quasi-isometric, meaning they are close enough to exact isometry for all practical purposes. It is concluded that the isometric and related logratio transformations such as pivot logratios are not a prerequisite for good practice, although many authors insist on their obligatory use. This conclusion is fully supported here by case studies in geochemistry and in genomics, where the good performance is demonstrated of pairwise logratios, as originally proposed by Aitchison, or Box-Cox power transforms of the original compositions where no zero replacements are necessary.

연구 동기 및 목표

• 40년간의 발전 이후 Aitchison의 구성 데이터 분석(CoDA)의 기초 원칙을 재평가한다.
• CoDA에서 정확한 부분조합 일관성과 등장성이 반드시 필요하다는 데 도전하며, 실용적 응용에 있어서는 근접한 만족(준일관성과 준등장성)이 충분하다고 주장한다.
• 고차원 구성 데이터에서 복잡한 등장성 로그비 방법과 비교하여 간단한 변환 방법—쌍별 로그비와 Box-Cox 거듭제곱 변환—의 성능을 평가한다.
• 카이제곱 표준화와 Box-Cox 변환을 적용한 대응분석이 지질학적 및 게놈 데이터셋에서 기하학적 구조를 얼마나 잘 유지하는지 보여준다.
• 등장성 로그비 변환이 현대 고차원 맥락에서 특히 게놈학 및 마이크로바이옴 연구에서 신뢰할 수 있는 CoDA 실천을 위해 반드시 필요하다는 것을 입증하는 경험적 증거를 제공한다.

제안 방법

• 변환 성능 평가를 위해 Tellus 지질학 데이터셋(6147 성분)과 단일세포 틴모이트 유전자 데이터셋(6147개 비영성 유전자)을 사례 연구로 사용한다.
• 구성 데이터에 대해 대응분석(CA)의 카이제곱 표준화를 적용한 후, 분산 안정화와 영성 처리를 위해 Box-Cox 거듭제곱 변환(예: 제곱근, λ = 0.5)을 시행한다.
• 부분조합의 기하학적 구조가 전체 조합과 얼마나 유사한지 상관관계를 측정함으로써 부분조합 일관성을 측정하기 위해 Procrustes 분석을 사용한다.
• 변환된 부분조합과 전체 조합 간의 Procrustes 상관계수를 통해 등장성에 가까운 정도를 정량화함으로써 준등장성의 수준을 평가한다.
• 해석 가능성과 성능 측면에서 Aitchison의 원래 접근법인 쌍별 로그비와 등장성 로그비(ilr) 및 피벗 로그비 변환을 비교한다.
• 다항분포 모델을 사용하여 단위합 제약 조건 하에서 성분 간 이론적 상관계수를 분석적으로 유도하며, 차원이 증가함에 따라 상관계수가 수렴하여 0에 수렴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 부분조합 일관성이 유효한 구성 데이터 분석을 위해 반드시 필요한가, 아니면 준일관성으로도 충분한가?
• RQ2 쌍별 로그비나 Box-Cox 거듭제곱 변환과 같은 간단한 변환이 고차원 구성 데이터에서 등장성 로그비 변환과 동등한 성능을 낼 수 있는가?
• RQ3 구성 데이터의 차원이 부분조합 일관성 수준에 어떤 영향을 미치며, 이는 데이터 크기의 변화에 따라 어떻게 변하는가?
• RQ4 카이제곱 표준화된 대응분석과 Box-Cox 변환은 고차원 구성 데이터에서 기하학적 구조를 어느 정도 유지하는가?
• RQ5 특히 수천 개의 성분을 포함하는 게놈학 및 마이크로바이옴 연구에서 현대적 응용에 있어서 정확한 등장성 요구 조건이 여전히 정당화될 수 있는가?

주요 결과

• 고차원 구성 데이터(예: 6147 성분)의 부분조합은 저차원 조합보다 훨씬 더 정확한 일관성에 가까운 경향을 보이며, 크기가 5201인 100개의 무작위 부분조합 중 90%에서 Procrustes 상관계수 >0.999를 기록한다.
• 6147개 유전자로 구성된 조합에서 가장 풍부한 두 성분 간의 다항분포 상관계수가 부분조합이 2000개를 초과할 경우 약 -0.1로 감소함을 보여, 제약 효과가 점차 약화됨을 시사한다.
• 카이제곱 표준화된 CA에 대해 Box-Cox 변환(λ = 0.5, 제곱근)을 적용할 경우, 변환되지 않은 데이터보다 더 높은 Procrustes 상관계수를 보이며 부분조합 일관성이 크게 향상됨을 입증한다.
• 쌍별 로그비와 준일관성 변환은 준등장성을 달성하며, Procrustes 상관계수가 1에 가까워서 정확한 등장성이 실용적 성능을 위해 반드시 필요하지 않음을 보여준다.
• 등장성 로그비(ilr) 변환은 좋은 실천을 위해 반드시 필요하지 않으며, 간단한 방법인 쌍별 로그비와 Box-Cox 변환은 지질학적 및 게놈 데이터셋 모두에서 뛰어난 성능을 보인다.
• 차원이 증가함에 따라 단위합 제약 조건이 성분 간 상관계수에 미치는 영향이 점차 감소함을 보여, 고차원 CoDA에서는 더 단순하고 해석이 용이한 변환 방법의 사용이 타당하다.