[논문 리뷰] Albanese and Picard 1-motives

Luca Barbieri-Viale, Vasudevan Srinivas|ArXiv.org|1999. 06. 24.

Mathematics and Applications인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 체 위의 대수다양체에 대해 고전적인 알바네즈와 피카르 다양체를 일반화하는 대수적으로 정의된 1-모티브—알바네즈 및 피카르 1-모티브—를 구성한다. 딜리ญ의 추측을 증명하기 위해 이 1-모티브들이 호모로지와 호모로지 이중성에 대해 Hodge, ℓ-진 및 드 라무 실현을 통해 $H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$, $H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$, $H^1(X,\mathbb{Z}(1))$, 및 $H_1(X,\mathbb{Z})$의 토크션 없는 부분군을 실현함으로써 보편성과 함의성을 확립한다.

ABSTRACT

We describe algebraically defined cohomological and homological Albanese and Picard 1-motives (or mixed motives) of any algebraic variety in characteristic zero, generalizing the classical Albanese and Picard varieties. We compute Hodge, l-adic and De Rham realizations proving Deligne's conjecture for the concerned mixed Hodge structures. We investigate functoriality, universality, homotopical invariance and invariance under formation of projective bundles. We compare our cohomological and homological 1-motives for normal schemes. For proper schemes, we obtain an Abel-Jacobi map from the (Levine-Weibel) Chow group of zero cycles to our cohomological Albanese 1-motive which is the universal regular homomorphism to semi-abelian varieties. By using this universal property we get 'motivic' Gysin maps for projective local complete intersection morphisms. This paper is an extended version of our preliminary Comptes Rendus Note, Academie des Sciences, Paris, Vol. 326, 1998.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 체 위의 대수다양체에 대해 고전적인 알바네즈와 피카르 다양체를 일반화하는 대수적으로 정의된 1-모티브—Alb⁺(X), Alb⁻(X), Pic⁺(X), Pic⁻(X)—를 구성한다.
• 이 1-모티브들이 Hodge, ℓ-진 및 드 라무 실현을 통해 $H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$, $H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$, $H^1(X,\mathbb{Z}(1))$, 및 $H_1(X,\mathbb{Z})$의 토크션 없는 부분군을 실현한다는 딜리ญ의 추측을 증명한다.
• 레빈-바이엘 초순환군에서 반타원형 다양체로의 아벨-자코비 사상의 대상으로서 코homological 알바네즈 1-모티브 Alb⁺(X)의 보편성을 확립한다.
• 코homological 알바네즈 1-모티브의 보편성 성질을 사용하여 프로젝션 국소 완전교차 사상에 대해 모티빅 Gysin 사상을 정의한다.

제안 방법

• 콤���팩티피케이션의 상대 피카르 함수와 단순형 해상으로부터 코homological 알바네즈 1-모티브 Alb⁺(X)와 호모로지 피카르 1-모티브 Pic⁻(X)를 정의한다.
• 대수다양체 $X$의 혼합 호지 구조, ℓ-진 코homology, 드 라무 코homology를 각각 사용하여 1-모티브의 Hodge, ℓ-진 및 드 라무 실현을 구성한다.
• 도표 추적과 피카르 함수의 표류성에 의해 다양한 해상과 콤팩티피케이션에 대해 생성물의 독립성을 증명한다.
• 기저 변경과 당김에 대한 1-모티브의 행동을 분석함으로써 함의성과 프로젝션 배럴에 대한 불변성을 확립한다.
• Alb⁺(X)의 보편성 성질을 사용하여 아벨-자코비 사상의 대상으로서 프로젝션 국소 완전교차 사상에 대해 모티빅 Gysin 사상을 정의한다.
• fpqc-층 이론과 피카르 함수의 표류성 이론을 적용하여 1-모티브와 그 실현의 대수적 구조를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 체 위의 임의의 대수다양체에 대해 $H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$, $H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$, $H^1(X,\mathbb{Z}(1))$, 및 $H_1(X,\mathbb{Z})$의 토크션 없는 부분군을 실현하는 대수적으로 정의된 1-모티브를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 1-모티브들이 Hodge, ℓ-진 및 드 라무 실현이 해당 코homology 군과 호환됨을 보장하는 딜리ญ의 추측을 만족하는가?
• RQ3 코homological 알바네즈 1-모티브 Alb⁺(X)는 제로 사이클의 레빈-바이엘 초순환군에서 반타원형 다양체로의 정규 환류에 대해 보편적인가?
• RQ4 코homological 알바네즈 1-모티브의 보편성 성질을 사용하여 프로젝션 국소 완전교차 사상에 대해 모티빅 Gysin 사상을 정의할 수 있는가?
• RQ5 1-모티브는 프로젝션 배럴과 벡터 배럴 형성에서 어떻게 행동하는가? 이러한 구성에 대해 불변성을 가지는가?

주요 결과

• 코homological 알바네즈 1-모티브 Alb⁺(X)는 호모로지 피카르 1-모티브 Pic⁻(X)의 카르티에 쌍대이며, 둘 다 기저 체 위에서 대수적으로 정의된다.
• Alb⁺(X)의 Hodge 실현은 $H^{2n-1}(X,\mathbb{Z}(n))$의 토크션 없는 부분군과 동형이며, 이는 피카르의 경우에도 마찬가지로 $H_{2n-1}(X,\mathbb{Z}(1-n))$에 대해 이중성 적용된다.
• 1-모티브의 ℓ-진 및 드 라무 실현은 각각 $X$의 ℓ-진 및 드 라무 코homology 군과 동형이며, 비교 동형사상과 호환된다.
• 제로 사이클의 레빈-바이엘 초순환군에서 Alb⁺(X)로의 아벨-자코비 사상은 반타원형 다양체로의 정규 환류에 대해 보편적이다.
• Alb⁺(X)의 보편성 성질을 사용하여 프로젝션 국소 완전교차 사상에 대해 모티빅 Gysin 사상을 정의하였으며, 고전적 Gysin 사상의 일반화이다.
• 1-모티브는 프로젝션 배럴과 벡터 배럴 형성에 대해 불변이며, 도표 추적과 피카르 함수의 표류성에 의해 호모토피 불변성을 만족한다.