[논문 리뷰] Alcoves et p-rang des variétés abéliennes

B. C. Ngô, Alain Genestier|ArXiv.org|2001. 07. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p$에서 아벨 다양체의 $p$-랭크와 Iwahori 수준 구조를 가진 주로 극성된 아벨 다양체의 모듈리 공간의 특수 섹션에 대한 Kottwitz-Rapoport 분할 간의 정확한 연결을 설정한다. 국소 모델과 알코프 워크의 기하학을 이용하여, $p$-랭크가 차원과 동일한 아벨 다양체의 집합인 일반 위치—즉, $p$-랭크가 차원과 같은 아벨 다양체의 집합—이 특수 섹션에서 조밀하다는 것을 증명하며, de Jong가 제기한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We study the relation between the $p$-rank of abelian varieties in characteristic $p$ and the Kottwitz-Rapoport's stratification of the special fiber modulo $p$ of the moduli space of principally polarized abelian varieties with Iwahori type level structure on $p$. In particular, the density of the ordinary locus in that special fiber is proved.

연구 동기 및 목표

• 특성 $p$에서 아벨 다양체의 $p$-랭크와 Iwahori 수준 구조를 가진 주로 극성된 아벨 다양체의 모듈리 공간의 특수 섹션에 대한 Kottwitz-Rapoport 분할 간의 관계를 명확히 하기.
• 특수 섹션의 어떤 분할이 $p$-랭크가 최대인 아벨 다양체(즉, 일반 위치)에 해당하는지 밝히기.
• 일반 위치가 모듈리 공간의 특수 섹션에서 조밀하다는 것을 증명함으로써 de Jong가 제기한 질문에 답하기.
• 심플렉틱 군의 아핀 웨일 군 원소를 이용한 알코프 워크와 함께 $p$-랭크의 기하학적이고 조합론적인 기술을 수립하기.

제안 방법

• Iwahori 수준 구조를 가진 아벨 다양체의 모듈리 공간에 대한 Rapoport-Zink의 국소 모델 구성 방법을 활용한다.
• 특수 섹션을 아핀 웨일 군 원소로 인덱싱된 Iwahori 부분군의 궤도들의 합집합으로 분석한다.
• $\mathrm{GSp}(2n)$의 아핀 플래그 다양체에서의 슈부르트 다양체들의 합집합으로 특수 섹션을 식별하는 데 의존한다.
• 알코프 이론과 $\mu$-허용 조건을 적용하여 웨일 군 원소를 통해 분할을 분류한다.
• 웨일 군 원소 $w$의 행렬 표현에서 $t$-요소의 수를 세는 방식으로 모듈리 공간의 점의 $p$-랭크를 계산한다.
• 특히 $p$-랭크는 $w(e_i) = t e_i$를 만족하는 인덱스 $i$의 수와 같으며, 이는 $w$의 행렬에서 대각선에 있는 $t$의 개수에 해당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kottwitz-Rapoport 분할의 특수 섹션에서 어떤 분할이 $p$-랭크가 최대인 아벨 다양체에 해당하는가?
• RQ2 아핀 웨일 군에 속한 관련 웨일 군 원소의 조합론과 아벨 다양체의 $p$-랭크는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 일반 위치—즉, $p$-랭크가 차원 $n$과 동일한 아벨 다양체의 집합—은 모듈리 공간의 특수 섹션에서 조밀한가?
• RQ4 점의 국소 모델과 관련된 알코프 워크 또는 웨일 군 원소로부터 $p$-랭크를 순수하게 조합론적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 해당 분할이 일반적인 조건을 만족하기 위해 웨일 군 원소 $w$가 충족해야 할 정확한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 웨일 군 원소 $w$로 인덱싱된 분할에 대응하는 아벨 다양체의 $p$-랭크는 $w$의 행렬 표현에서 대각선에 있는 $t$-요소의 수인 $r(w)$와 같다.
• 일반 분할은 정확히 웨일 군의 원소 $w = t_{y\mu}$에 의해 인덱싱된 것들—즉, 아핀 웨일 군 내의 이동 원소들—이다.
• 일반 위치 $\mathcal{A}^{\mathrm{ord}}$는 웨일 군 내 이동 원소에 대응하는 분할 $\mathcal{A}_{t_{y\mu}}$의 합집합이다.
• Kottwitz-Rapoport 정리에 따라 분할의 폐쇄 성질에 기반하여 일반 위치는 특수 섹션 $\mathcal{A}_s$에서 조밀하다.
• Kottwitz-Rapoport 분할의 각 분할에서 $p$-랭크는 일정하며, 최대 $p$-랭크 $n$은 정확히 일반 분할에서 달성된다.
• 이 결과는 de Jong의 추측—즉, 일반 위치가 Iwahori 수준 구조를 가진 모듈리 공간의 특수 섹션에서 조밀하다—를 확인한다.