[논문 리뷰] Algebra of hypersymmetry (extended version) applied to state transformations in strongly relativistic interactions illustrated on an extended form of the Dirac equation

György Darvas|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스칼라 및 벡터 성분을 갖는 3+1 매개변수 물리량(예: 등치적 장 전하, 예를 들어 관성 질량 대 중력 질량, 로렌츠 전하 대 쿠론 전하)을 통합하는 데 기초한, SU(2)와 동형인 타우 대수와 동형인 새로운 불변성 군인 초대칭(HySy)을 제안한다. 이는 확장된 디랙 방정식이 로렌츠 변환과 HySy의 병합 작용 하에서도 불변성을 유지함을 보여주며, 기본 상호작용에 대한 고에너지 대칭 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

There are several 3+1 parameter quantities in physics (like vector + scalar potentials, 4-currents, space-time, 4-momentum). In most cases (but space-time), the 3- and the 1-parameter characterised elements of these quantities differ in the field-sources (e.g., inertial and gravitational masses, Lorentz- and Coulomb-type electric charges) associated with them. The members of the field-source pairs appear in the vector- and the scalar potentials, respectively. Sec. 1 and 2 present an algebra what demonstrates that the members of the field-source siblings are subjects of an invariance group that can transform them into each other. (This includes, the conservation of the isotopic field-charge spin, proven in previous publications.) The paper identifies the algebra of that transformation and characterises the group of the invariance, it discusses the properties of this group, shows how they can be classified in the known nomenclature, and why is this pseudo-unitary group isomorphic with the SU(2) group. This algebra is denoted by tau. The invariance group generated by the tau algebra is called hypersymmetry (HySy). The group of HySy had not been described. The defined symmetry group is able to make correspondence between scalars and vector components that appear often coupled in the characterisation of physical states. In accordance with conclusions in previous papers, the second part (Sec. 3 and 4) shows that the equations describing the individual fundamental physical interacions are invariant under the combined application of the Lorentz transformation and the here explored invariance group at high energy approximation (while they are left intact at lower energies). As illustration, the paper presents a simple form for an extended Dirac equation and a set of matrices to describe the combined transformation in QED. Sec. 2.2 shows applicability of this algebra for genetic matrices.

연구 동기 및 목표

• 등치적 장 전하 형제(예: 관성 질량과 중력 질량, 로렌츠 전하와 쿠론 전하 등)를 상호 변환하는 대수적 불변성 군을 유도하는 것.
• 이 불변성의 대수적 구조를 규명하고, 이를 SU(2)와 동형인 편일단 군으로 식별하는 것, 이를 타우(τ) 대수로 표기한다.
• 고에너지에서 로렌츠 변환과 이 새로운 HySy 대칭의 병합 작용 하에서도 기본 상호작용, 특히 양자전자역학에서 불변성을 유지하는 것을 보여주는 것.
• 이 대칭을 포함하는 디랙 방정식을 확장하고, (SO+(3,1) ⊗ SU(2)) 변환의 병합 작용 하에서의 공변성을 보여주는 것.

제안 방법

• 3+1 매개변수 물리량의 스칼라 및 벡터 성분 간의 변환을 생성하는 타우(τ) 대수를 유도한다.
• 타우 대수에 의해 생성되는 불변성 군을 초대칭(HySy)으로 식별하며, 이가 SU(2)와 동형임을 증명한다.
• 일반화된 운동량과 질량 항을 포함한 수정된 디랙 방정식을 구성하여, 반대 방향의 등치적 장 전하를 포함함으로써 로렌츠 및 HySy 변환의 병합 작용 하에서도 공변성을 유지한다.
• 3×3 소행렬을 이용해 속도에 의존하는 장 전하 전류 성분 간의 상호작용을 모델링하기 위해 4×4 변환 행렬을 적용한다.
• 군 이론적 분석을 통해 HySy 군을 분류하고, 입자물리학 및 게이지 이론에서의 기존 용어와 연관짓는다.
• QED에 대한 단순한 확장된 디랙 방정식과 행렬 표현을 제시하여, (SO+(3,1) ⊗ SU(2)) 하에서의 불변성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스칼라 및 벡터 성분을 갖는 3+1 매개변수 물리량(예: 장 전하)이 통합된 불변성 군을 통해 대수적으로 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ2 등치적 장 전하 형제를 상호 변환하는 대칭의 대수적 구조와 군 이론적 분류는 무엇인가?
• RQ3 타우 대수에 의해 생성되는 불변성 군이 왜 SU(2)와 동형이며, 이 동형성이 물리 방정식에 어떻게 나타나는가?
• RQ4 로렌츠 변환과 새로운 HySy 대칭의 병합 작용이 고에너지에서 확장된 디랙 방정식의 공변성을 어떻게 유지하는가?
• RQ5 이 대칭이 기본 상호작용의 통합과 디랙 방정식의 구조에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 타우 대수는 SU(2)와 동형인 편일단 불변성 군을 생성하며, 이는 3+1 물리량의 스칼라 및 벡터 성분을 상호 변환한다.
• 확장된 디랙 방정식은 로렌츠 변환과 HySy 대칭의 병합 작용 하에서도 불변성을 유지하며, 원래의 디랙 방정식에 존재하지 않는 새로운 고에너지 불변성을 보여준다.
• HySy 불변성 군은 스칼라 및 벡터 장 전하 원천(예: 관성 질량 대 중력 질량, 로렌츠 전하 대 쿠론 전하)이 해밀토니안에 결합될 때 공변성을 복원한다.
• 이 대칭은 모든 기본 상호작용에 대해 일반적이지만, 저에너지에서는 자발적 대칭 붕괴를 겪고, 고에너지에서는 붕괴되지 않은 채 유지된다.
• 변환 행렬은 4×4이며, 3×3 소행렬은 장 전하 전류의 속도에 의존하는 성분에 작용하여 상대론적 역학과의 일관성을 확보한다.
• 이 형식은 입자물리학 외에도 유전적 행렬 규칙성에 적용 가능한 수학적 프레임워크를 제공한다. 이는 2.2 절에서 도시되어 있다.