[논문 리뷰] Algebra of the Infrared: String Field Theoretic Structures in Massive ${\cal N}=(2,2)$ Field Theory In Two Dimensions

Davide Gaiotto, Gregory W. Moore외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 12.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 1+1차원 질량이 있는 ${\cal N}=(2,2)$ 장 이론에서 반보존 대칭 경계 조건을 기술하기 위한 웹 기반 형식을 개발한다. 이 형식은 적외선 데이터—진공, 솔리톤 중심 전하, 솔리톤 상태—를 사용하며, 상호작용 및 경계 방출 진폭이 $A_\infty$ 및 $L_\infty$ 대수 구조의 제약 조건을 만족함을 보여준다. 이 틀은 반직선과 구간 위의 BPS 상태를 분류하고, 인터페이스에 대한 결합 연산자 곱을 수립하며, 범주화된 벽을 넘는 공식을 증명한다. 또한 랑두-긴츠부르크 모델이 해석적 리프슈츠 피브레이션을 통해 후카야-세일러 $A_\infty$-범주를 실현함을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce a "web-based formalism" for describing the category of half-supersymmetric boundary conditions in $1+1$ dimensional massive field theories with ${\cal N}=(2,2)$ supersymmetry and unbroken $U(1)_R$ symmetry. We show that the category can be completely constructed from data available in the far infrared, namely, the vacua, the central charges of soliton sectors, and the spaces of soliton states on $\mathbb{R}$, together with certain "interaction and boundary emission amplitudes". These amplitudes are shown to satisfy a system of algebraic constraints related to the theory of $A_\infty$ and $L_\infty$ algebras. The web-based formalism also gives a method of finding the BPS states for the theory on a half-line and on an interval. We investigate half-supersymmetric interfaces between theories and show that they have, in a certain sense, an associative "operator product." We derive a categorification of wall-crossing formulae. The example of Landau-Ginzburg theories is described in depth drawing on ideas from Morse theory, and its interpretation in terms of supersymmetric quantum mechanics. In this context we show that the web-based category is equivalent to a version of the Fukaya-Seidel $A_\infty$-category associated to a holomorphic Lefschetz fibration, and we describe unusual local operators that appear in massive Landau-Ginzburg theories. We indicate potential applications to the theory of surface defects in theories of class S and to the gauge-theoretic approach to knot homology.

연구 동기 및 목표

• 1+1차원 질량이 있는 ${\cal N}=(2,2)$ 장 이론에서 반보존 대칭 경계 조건을 완전히 기술하기 위해 먼 적외선 데이터만을 사용하는 것.
• 이러한 이론에서 상호작용 및 경계 방출 진폭을 지배하는 대수적 구조—특히 $A_\infty$ 및 $L_\infty$ 대수—를 규명하는 것.
• 반직선과 구간 위의 BPS 상태의 막대한 벽을 넘는 현상에 대한 범주화를 제공하는 것.
• 질량이 있는 랑두-긴츠부르크 이론에서 경계 조건의 범주와 해석적 리프슈츠 피브레이션에 관련된 후카야-세일러 $A_\infty$-범주 사이의 정확한 대응을 수립하는 것.
• 제안된 형식을 통해 클래스 S 이론의 표면 결함과 게이지 이론적 링크 homology에 응용할 수 있는지를 탐색하는 것.

제안 방법

• 적외선 근처의 데이터를 사용하여 솔리톤 상태와 그 상호작용을 네트워크로 표현하는 웹 기반 형식을 도입한다.
• 고차 호모토피 관계를 특징으로 하는 $A_\infty$ 및 $L_\infty$ 대수의 특성과 일치하는 경계 방출 및 상호작용 진폭을 정의한다.
• 반직선 위의 중심 전하, 진공 데이터, $\mathbb{R}$ 위의 솔리톤 상태 공간을 기반으로 경계 조건의 범주를 구성한다.
• 모르스 이론적 및 초대칭 양자역학적 기법을 사용하여 랑두-긴츠부르크 모델과 그 관련 리프슈츠 피브레이션을 분석한다.
• 결과적으로 얻어진 범주는 해석적 리프슈츠 피브레이션에 관련된 후카야-세일러 $A_\infty$-범주와 동치임을 보여준다.
• 반직선과 구간 위의 BPS 상태를 분석하여 고차 범주화된 벽을 넘는 공식을 유도하며, 고전적 벽을 넘는 공식을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 1+1차원 질량이 있는 ${\cal N}=(2,2)$ 이론에서 반보존 대칭 경계 조건의 범주는 오직 적외선 데이터만으로 완전히 재구성될 수 있는가?
• RQ2 이러한 이론에서 상호작용 및 경계 방출 진폭을 지배하는 대수적 구조는 무엇이며, $A_\infty$ 및 $L_\infty$ 대수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 반직선과 구간 위의 BPS 상태는 웹 기반 형식을 통해 어떻게 유도되며, 그들의 고차 범주화된 구조는 무엇인가?
• RQ4 질량이 있는 랑두-긴츠부르크 이론에서 경계 조건의 범주는 어느 정도 후카야-세일러 $A_\infty$-범주와 동치인가?
• RQ5 이 형식을 사용하여 BPS 상태에 대한 고차 범주화된 벽을 넘는 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 반보존 대칭 경계 조건의 범주는 적외선 근처의 진공, 솔리톤 중심 전하, 솔리톤 상태 공간에 의해 완전히 결정된다.
• 상호작용 및 경계 방출 진폭은 $A_\infty$ 및 $L_\infty$ 대수의 고차 호모토피 관계와 동형인 관계계를 만족한다.
• 웹 기반 형식은 반직선과 구간 위의 BPS 상태를 계산하는 방법을 제공하며, 기존의 BPS 스펙트럼을 일반화한다.
• 이론 간의 반보존 대칭 인터페이스는 결합 연산자 곱의 결합 구조를 가지며, 등각 장 이론의 융합 개념을 일반화한다.
• 랑두-긴츠부르크 극한에서 경계 조건의 범주는 해석적 리프슈츠 피브레이션에 관련된 후카야-세일러 $A_\infty$-범주와 동치이다.
• 이 형식은 고전적 콘테브치-소이벨만 공식을 경계 조건과 솔리톤 섹터의 맥락으로 일반화한 고차 범주화된 벽을 넘는 공식을 도출한다.