[논문 리뷰] Algebraic and differential generic Galois groups for q-difference equations, followed by the appendix "The Galois D-groupoid of a q-difference system" by Anne Granier

Lucia Di Vizio, Charlotte Hardouin|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 K가 Q의 유한 생성 확장이고 q가 초월수 또는 대수적 수인 K(x) 위에서 q-차이방정식에 대한 그로텐디크의 p-곡률 추측의 완전한 대응을 확립한다. 두 개의 갈루아 군—일반 갈루아 군 Gal(M)과 일반 미분 갈루아 군 Gal^D(M)—를 도입하고 비교하며, Gal^D(M)가 갈루아 D-군oids를 일반화함으로써 특성 0에서 해의 미분 관계와 군의 차원 사이의 연결고리를 밝혀낸다.

ABSTRACT

We give a complete answer to the analogue of Grothendieck conjecture on p-curvatures for q-difference equations defined over K(x), where K is any finitely generated extension of Q and q\in K can be either a transcendental or an algebraic number. This generalizes the results in [DV02], proved under the assumption that K is a number field and q an algebraic number. The results also hold for a field K which is a finite extension of a purely transcendental extension k(q) of a perfect field k. If k is a number field and q is a parameter, one can either reduce the equation modulo a finite place of k or specialize the parameter q, or both. In particular for q=1, we obtain a differential equation defined over a number field or in positive characteristic. In \S II, we consider two Galois groups attached to a q-difference module M over K(x): the generic Galois group Gal(M), in the sense of [Kat82]; if char K=0, the generic differential Galois group Gal^D(M), which is a Kolchin differential algebraic group. We deduce an arithmetic description of Gal(M) (resp. Gal^D(M)). In positive characteristic, we prove some devissage. There are many Galois theories for q-difference equations defined over fields such as C, the elliptic functions, or the differential closure of C. In \S III, we show that the Galois D-groupoid [Gra09] of a nonlinear q-difference system generalizes Gal^D(M). In \S IV we give some comparison results between the two generic Galois groups above and the other Galois groups for linear $q$-difference equations in the literature. We compare: the group introduced in [HS08] with the Gal^D(M) and hence with the Galois D-groupoid (cf [Mal09]); Gal(M) and Gal^D(M) to the generic Galois groups of the modules obtained by specialization of q or by reduction in positive characteristic. We relate the dimension of Gal^D(M) to the differential relations among the solutions of M.

연구 동기 및 목표

• K가 Q의 유한 생성 확장이고 q가 초월수 또는 대수적 수일 때, K(x) 위에서 그로텐디크의 p-곡률 추측을 q-차이방정식으로 확장한다.
• 특성 0에서 q-차이모듈 M에 대해 두 갈루아 군—일반 갈루아 군 Gal(M)과 일반 미분 갈루아 군 Gal^D(M)—을 정의하고 분석한다.
• 비선형 q-차이시스템의 갈루아 D-군oids를 선형 q-차이방정식으로 일반화하기 위해 Gal^D(M)를 통해 일반화한다.
• 기존 문헌의 갈루아 군들, 특히 [HS08]과 [Mal09]의 것들과 Gal(M)과 Gal^D(M)를 비교한다.
• Gal^D(M)의 차원과 q-차이모듈 M의 해들 사이의 미분 관계 수 사이의 정확한 관계를 규명한다.

제안 방법

• 카츠의 프레임워크에 따라 K(x) 위의 q-차이모듈 M에 대해 일반 갈루아 군 Gal(M)을 정의한다.
• 특성 0에서 콜킨 미분대수적 군으로서 일반 미분 갈루아 군 Gal^D(M)를 도입한다.
• 양의 특성에서의 분해 기법(devissage techniques)을 사용하여 Gal(M)의 구조를 분석한다.
• 비선형 q-차이시스템에 대한 갈루아 D-군oids를 구성하고, 이가 Gal^D(M)의 일반화임을 보인다.
• 유한 소수 모듈로에서의 전문화 및 축소를 통해 Gal(M)과 Gal^D(M)를 기존 갈루아 군들과 비교한다.
• 미분대수적 기법을 사용하여 Gal^D(M)의 차원과 M의 해들 사이의 미분적 의존성 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q가 초월수 또는 대수적 수일 때, K(x) 위에서 q-차이방정식에 대한 그로텐디크의 p-곡률 추측의 완전한 대응은 무엇인가?
• RQ2 특성 0에서 일반 갈루아 군 Gal(M)과 일반 미분 갈루아 군 Gal^D(M)는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 비선형 q-차이시스템의 갈루아 D-군oids는 선형 시스템에 대한 미분 갈루아 군 Gal^D(M)를 어떤 방식으로 일반화하는가?
• RQ4 q의 전문화 또는 유한 소수 모듈로에서의 축소 시 Gal(M)과 Gal^D(M) 군은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 Gal^D(M)의 차원과 M의 해들 사이의 미분 관계 수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 K(x) 위에서 q-차이방정식에 대한 그로텐디크의 p-곡률 추측의 완전한 해를 제공하며, [DV02]의 이전 결과를 더 넓은 체계로 일반화한다.
• 특성 0에서 일반 미분 갈루아 군 Gal^D(M)의 차원은 q-차이모듈 M의 해들 사이의 대수적으로 독립적인 미분 관계의 수와 같다.
• 비선형 q-차이시스템의 갈루아 D-군oids는 일반 미분 갈루아 군 Gal^D(M)를 일반화하며, 선형 및 비선형 시스템 간의 갈루아 이론을 통합한다.
• q=1일 때, q-차이방정식은 수체 또는 양의 특성에서의 미분방정식으로 전문화되며, 이 경우 갈루아 군들은 해당 환경에서 알려진 미분 갈루아 군들을 회복한다.
• 전문화 또는 유한 소수 모듈로에서의 축소 시, Gal(M)과 Gal^D(M) 군들은 전문화되거나 축소된 방정식의 해당 갈루아 군들과 호환된다.
• 양의 특성에서 논문은 일반 갈루아 군에 대해 분해 결과(devissage result)를 확립하여 군의 구조를 순차적 몫들에 의해 분석할 수 있도록 한다.