[논문 리뷰] Algebraic cobordism

Marc Levine|ArXiv.org|2003. 04. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 144

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 체 위의 스킴에서의 일반적인 방향성 있는 Borel-Moore 호모로지 이론, 대수적 코버드יזם $\Omega_*$를 제시하며, 이론이 Lazard 링에 값을 갖는 그러한 이론의 보편 예로 확립된다. 이론의 구성은 형식적 군 법칙과 선다발을 갖춘 사이클의 대칭 모노이드 범주를 사용하며, 이는 차우 군과 K-이론을 일반화하는 이론을 제공한다. 또한 이론은 모티빅 호모토피 이론에서 $\mathbb{P}^1$-스펙트럼 $MGL$과의 추측적 연결을 지닌다.

ABSTRACT

Together with F. Morel, we have constructed in \cite{CR, Cobord1, Cobord2} a theory of {\em algebraic cobordism}, an algebro-geometric version of the topological theory of complex cobordism. In this paper, we give a survey of the construction and main results of this theory; in the final section, we propose a candidate for a theory of higher algebraic cobordism, which hopefully agrees with the cohomology theory represented by the $¶^1$-spectrum $MGL$ in the Morel-Voevodsky stable homotopy category.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 체 위의 분리된 유한형 스킴의 범주에서 보편적인 방향성 있는 Borel-Moore 호모로지 이론을 구성하는 것.
• 대수적 코버드יזם $\Omega_*$를 Lazard 링에 값을 갖는 그러한 이론의 보편 예로 확립하는 것.
• 프로젝티브 번들의 구조와 코이히엔 클래스를 사용하여 방향성 있는 호모로지 이론의 형식적 군 법칙을 대수기하학으로 일반화하는 것.
• 대칭 모노이드 범주와 호모토피 극한의 역체계를 통한 고차 대수적 코버드יזם의 후보를 제안하는 것.
• 모티빅 호모토피 이론과의 연결을 위해, 결과적으로 생성된 공간들이 $\mathbb{P}^1$-스펙트럼 $MGL$을 나타낸다고 추측하는 것.

제안 방법

• 총 차수로 분류된 선다발을 갖춘 사이클의 대칭 모노이드 범주 $\widetilde{\Omega}^{(n)}(X)$를 구성하고, 코이히엔 클래스 변환을 갖춘다.
• Lazard 링 $\mathbb{L}^{(n)}_*$ 위의 형식적 군 법칙 $F_{\mathbb{L}^{(n)}}$에 해당하는 관계를 선다발의 텐서곱에 대해 가환성과 결합법칙을 포함하여 도입한다.
• $\Omega_{m,r}^{(n)}(X)$를 $\widetilde{\Omega}_m^{(n)}(X)$의 분류 공간 $B\widetilde{\Omega}_m^{(n)}(X)$의 $r$-번째 호모토피 군으로 정의하고, $n$에 대해 역체계를 이룬다.
• $\Omega_{m,r}(X) = \varprojlim_n \Omega_{m,r}^{(n)}(X)$로 역극한을 취하여 고차 대수적 코버드יזם 군을 정의한다.
• Lazard 링의 보편 성질을 사용하여, 어떤 방향성 있는 호모로지 이론도 $\Omega_*$를 통해 고유한 링 준동형사상으로 인수화됨을 보장한다.
• 역체계가 안정화되고, 호모토피 극한 $B\widetilde{\Omega}_m(X) = \mathop{\rm holim}_n B\widetilde{\Omega}_m^{(n)}(X)$가 $MGL$을 나타내는 스펙트럼을 정의한다고 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 체 위의 스킴에서 보편적인 방향성 있는 Borel-Moore 호모로지 이론은 무엇이며, 형식적 군 법칙과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 차우 군과 K-이론을 보편 성질을 통해 일반화하는 대수적 코버드יזם 이론을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 역체계를 통한 대칭 모노이드 범주와 호모토피 극한을 사용하여 고차 대수적 코버드יזם을 정의할 수 있는가?
• RQ4 $\Omega_{m,r}(X)$를 정의하는 데 사용된 역체계는 $n$에 대해 안정화되는가? 그리고 $r=0$일 때 $\Omega_m(X)$를 복원하는가?
• RQ5 결과로 생성된 스펙트럼 $B\widetilde{\Omega}_m(X)$는 모레어-보에보츠키 안정 호모토피 범주에서 $\mathbb{P}^1$-스펙트럼 $MGL$과 동치인가?

주요 결과

• 대수적 코버드יזם $\Omega_*$는 특성 0인 체 $k$에 대해 $\operatorname{\mathbf{Sch}}_k$에서의 보편적인 방향성 있는 Borel-Moore 호모로지 이론이다.
• $\Omega_*$를 매끄럽고 준사영인 스킴에 제한하면, Lazard 링 $\mathbb{L}^*$에 값을 갖는 보편적인 방향성 있는 호모로지 이론 $\Omega^*$를 얻는다.
• 이론은 프로젝티브 번들의 공식과 호모토피 성질을 만족하며, 그 형식적 군 법칙은 보편적이며 Lazard 링에 의해 주어진다.
• 역극한 $\Omega_{m,r}^{(n)}(X)$를 통한 $\Omega_{m,r}(X)$의 구성은 $r=0$일 때 $\Omega_m(X)$를 복원한다. 이는 등장 $\Omega_{m,0}(X) \cong \Omega_m(X)$로 보여진다.
• 이론은 자연스럽게 Lazard 링 $\mathbb{L}^{(n)}$의 작용을 가지며, 코이히엔 클래스 변환은 형식적 군 법칙의 구조와 호환된다.
• 논문은 $\Omega_{m,r}(X)$를 정의하는 데 사용된 역체계가 모든 $r$에 대해 안정화되며, 호모토피 극한 $B\widetilde{\Omega}_m(X)$가 $\mathbb{P}^1$-스펙트럼 $MGL$을 나타낸다고 추측한다.