[논문 리뷰] Algebraic construction of contragradient quasi-Verma modules in positive characteristic

Sergey Arkhipov|ArXiv.org|2001. 05. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 플래그 다양체 위의 상부 국소 코hom로군을 통해 양의 특성에서 대칭적 반-베르마 모듈러의 대수적 구성을 제공한다. 양의 특성에서 양자 BGG 복합체와 전역 그로텐디크-쿠신 복합체 사이의 이sovom르피즘을 증명하며, 그 미분들이 자연스러운 모듈러 맵을 통해 일치함을 보여, 이전 표현론적 증명에서 누락된 단계를 완성한다.

ABSTRACT

In the present paper we investigate a new class of infinite-dimensional modules over the hyperalgebra of a semi-simple algebraic group in positive chararacteristic called quasi-Verma modules. We provide a purely algebraic construction of the global Grothendieck-Cousin complex corresponding to the standard line bumdle ${\mathcal L}(λ)$ on the Flag variety of the algebraic group stratified by Schubert cells. We prove that the complex consists of direct sums of quasi-Verma modules for the highest weights of the form $w\cdotλ$ for various elements $w$ of the Weyl group.

연구 동기 및 목표

• Arkhipov(2001)의 Proposition 3.7.1(ii)의 증명에서의 간극을 메우기 위해, 양자 복합체와 기하학적 복합체 간의 비교를 수행한다.
• 플래그 다양체 위에서 전역 그로텐디크-쿠신 복합체의 대수적 실현을 제공한다.
• 스슈베르트 셀 위의 상부 국소 코호몰로지 군과 대칭적 반-베르마 모듈러 사이의 이sovom르피즘을 확립한다.
• 양의 특성에서 양자 BGG 복합체와 기하학적 쿠신 복합체의 미분들이 자연스럽게 이sov오모르픽한지를 증명한다.

제안 방법

• 하이퍼대수 $\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})$ 위에서의 왼쪽 반정규 모듈러 $\mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p}$를 $G_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 위의 $H^{\operatorname{codim}N_w}_{N_{w,\overline{\mathbb{F}}_p}}(G_{\overline{\mathbb{F}}_p}, \mathcal{O}_{G_{\overline{\mathbb{F}}_p}})$로 정의한다.
• 대칭적 반-베르마 모듈러 $\mathbb{D}\widetilde{M}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w\cdot\lambda)$를 $\mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p} \otimes_{\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})} M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda)$로 정의한다.
• 핵 함자 $S_w$와 트위스팅 함자 $T_w$를 사용하여 카테고리 $\mathcal{O}$ 위에서 함자 $\Theta_w$를 정의하며, 이는 유도된 카테고리에서 자가동치를 유도한다.
• 함수 $\alpha$를 $\mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p} \otimes M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda)$에서 $\operatorname{S-Coind}_{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w(\mathfrak{b}^+))}^{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})}(\overline{\mathbb{F}}_p(\lambda))$로 가는 자연스러운 $\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})$-모듈러 맵으로 정의한다.
• $\alpha$가 자연스러운 식별과 $M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda)$에서 호모지 공간으로의 자연스러운 사상의 존재를 이용해 이sov오모르피즘임을 증명한다.
• 양자 복합체와 기하학적 복합체의 부분모듈러의 격자들을 비교하며, Lemma 5.4.9를 통해 그들이 일치함을 보이고, 이는 미분들이 일치함을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 특성에서 기하학적 코호몰로지에 의존하지 않고 대수적으로 대칭적 반-베르마 모듈러를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 상부 국소 코호몰로지 군 $H^{\ell(w)}_{C_{ww_0,\overline{\mathbb{F}}_p}}(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{F}}_p}, \mathcal{L}(\lambda))$의 정확한 대수적 실현은 무엇인가?
• RQ3 양자 BGG 복합체 $\mathbb{D}B^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$와 전역 그로텐디크-쿠신 복합체 $K^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$ 사이에 자연스러운 이sov오모르피즘이 존재하는가?
• RQ4 제안된 이sov오모르피즘 하에서 두 복합체의 미분들이 일치하는가?
• RQ5 양자 복합체의 부분모듈러 격자가 기하학적 격자와 일치함을 보일 수 있는가, 이를 통해 미분의 호환성이 보장되는가?

주요 결과

• 대칭적 반-베르마 모듈러 $\mathbb{D}\widetilde{M}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w\cdot\lambda)$는 상부 국소 코호몰로지 군 $H^{\ell(w)}_{C_{ww_0,\overline{\mathbb{F}}_p}}(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{F}}_p}, \mathcal{L}(\lambda))$와 이sov오모르픽하며, 이는 기하학적 코호몰로지의 대수적 실현을 확립한다.
• 함수 $\alpha: \mathcal{S}_{w,\overline{\mathbb{F}}_p} \otimes M_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w_0\cdot\lambda) \to \operatorname{S-Coind}_{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w(\mathfrak{b}^+))}^{{\mathbf{U}}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})}(\overline{\mathbb{F}}_p(\lambda))$는 $\mathbf{U}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\mathfrak{g})$-모듈러로서 이sov오모르피즘임을 증명한다.
• 모든 $w \in W$에 대해 $\operatorname{Im}(\widetilde{M}_{\overline{\mathbb{F}}_p}(w\cdot\lambda))$와 $\operatorname{Im}(M^w_{\mathcal{A}}(w\cdot\lambda) \otimes_{\mathcal{A}} \overline{\mathbb{F}}_p)$의 부분모듈러 격자가 일치한다. 이는 Lemma 5.4.9에 의해 명시되어 있다.
• 복합체 $\mathbb{D}B^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$와 $K^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$의 미분들은 자연스럽게 이sov오모르픽하며, 이는 Theorem 5.4.2를 증명한다.
• 양자 BGG 복합체 $\mathbb{D}B^\bullet_{\overline{\mathbb{F}}_p}(\lambda)$는 플래그 다양체 위의 전역 그로텐디크-쿠신 복합체와 계수 $\mathcal{L}(\lambda)$로 이sov오모르픽하며, 비교를 완성한다.