[논문 리뷰] Algebraic curves uniformized by congruence subgroups of triangle groups

Pete L. Clark, John Voight|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 쌍곡 삼각형 군의 합동 부분군을 도입하고, 이러한 군에 의해 균형화되는 갈로아 벨리 곡선을 구성하여, 수체 위에서 PSL₂(𝔽ₚ)와 PGL₂(𝔽ₚ)를 정규 갈로와 군으로 실현한다. 주요 기여는 이러한 곡선의 모듈리 체와 유리성 체를 규명한 것으로, 이들이 분수 각도의余현값으로 생성된 수체의 최대 이차 확장 위에 정의된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We construct certain subgroups of hyperbolic triangle groups which we call "congruence" subgroups. These groups include the classical congruence subgroups of SL_2(ZZ), Hecke triangle groups, and 19 families of arithmetic triangle groups associated to Shimura curves. We determine the field of moduli of the curves associated to these groups and thereby realize the groups PSL_2(q) and PGL_2(q) regularly as Galois groups.

연구 동기 및 목표

• 쌍곡 삼각형 군 내에서 새로운 합동 부분군의 클래스를 정의하고 연구하여 고전적 모듈러 곡선을 일반화한다.
• 이 부분군에 의해 균형화되는 갈로아 벨리 곡선의 존재성과 산술적 성질을 조사한다.
• 특히 갈로아 군이 PSL₂(𝔽ₚ) 또는 PGL₂(𝔽ₚ)일 경우, 이러한 곡선의 모듈리 체와 유리성 체를 규명한다.
• 이러한 구성들을 통해 PSL₂(𝔽ₚ)와 PGL₂(𝔽ₚ)를 수체 위에서 정규 갈로아 군으로 실현한다.
• 약한 강성과 프로베니우스 작용이 이러한 곡선이 정의된 체에 어떻게 영향을 미치는지 탐구한다.

제안 방법

• 각도 (0, π/2, π/n)를 가진 쌍곡 반사 삼각형을 통해 삼각형 군을 정의하고, 헤크와 고전적 모듈러 군을 일반화한다.
• 자기의 추적 체와 정수환에 대한 산술 조건을 사용하여 이러한 삼각형 군의 '합동' 부분군을 도입한다.
• 벨리 맵 이론과 삼점 분지 덮개를 활용하여, 단순군 PSL₂(𝔽ₚ) 또는 PGL₂(𝔽ₚ)의 모노드로미를 가진 ℙ¹에 대한 갈로아 덮개를 구성한다.
• 클래스 체 이론과 프로베니우스 원소를 적용하여, 여현값으로 생성된 체 E(a,b,c), F(a,b,c), D(a,b,c)에서 소수의 분할 행동을 분석한다.
• 갈로아 수축과 절대 갈로아 군의 작용을 통해 모듈리 체 M(X)와 쌍 (X,G)의 모듈리 체를 계산한다.
• 명시적 곡선 방정식과 j-불변량을 사용하여 체 확장의 확인과 유리성 및 이소지 유 invariant에 관한 추측의 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각형 군의 합동 부분군이 갈로아 벨리 곡선을 유도하고, 모노드로미가 PSL₂(𝔽ₚ) 또는 PGL₂(𝔽ₚ)가 되는 경우는 어떤 쌍곡 삼중항 (a,b,c)과 소수 p에 대해 성립하는가?
• RQ2 이러한 곡선 X에 대해 모듈리 체 M(X)는 무엇이며, 기저 체 E(a,b,c) 및 그 확장과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 모듈리 체 M(X)가 유리성 체와 일치하는 경우는 언제이며, 언제는 이차 확장을 요구하는가?
• RQ4 F(a,b,c)에서 p의 분할 행동이 갈로아 군이 PSL₂(𝔽ₚ)인지 PGL₂(𝔽ₚ)인지 결정하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 약한 강성의 실패가 모듈리 체에 비자명한 체 확장을 유도할 수 있으며, 이는 명시적 곡선 방정식에 어떻게 반영되는가?

주요 결과

• 쌍곡 삼중항 (a,b,c)과 F(a,b,c)에서 분할되지 않은 소수 p에 대해, F(a,b,c)에서 p가 완전히 분할되면 G ≅ PSL₂(𝔽ₚ)인 G-갈로아 벨리 맵이 존재하고, 그렇지 않으면 G ≅ PGL₂(𝔽ₚ)이다.
• 곡선 X(a,b,c;p)의 모듈리 체 M(X)는 E(a,b,c)의 최대 이차 확장이며, (3,4,7;7)의 경우 ℚ(√2)이다.
• 쌍 (X,G)의 모듈리 체 M(X,G)는 곡선 X(3,4,7;7)에 대해 M(X)(√−7)이며, 이 체는 ℚ(√2,√−7)이다.
• (3,5,6;11)의 삼중항에 대해, 모듈리 체 M(X)는 ℚ(√5)의 최대 차수 2의 확장이며, 곡선 X₀(3,5,6;11)의 종수는 2이다.
• A₅ ≤ PSL₂(𝔽₁₁)로부터 유도된 X(3,5,6;11)의 타원곡선 몫은 ℚ(√3,√5,√β) 위에 정의되며, 여기서 β는 판별식 N(β) = 11²인 이차 방정식을 만족한다.
• 이 타원곡선의 j-불변량은 ℚ(√5,√3,√β)를 생성하여, 이론적 예측인 정리 A와 일치하는 비자명한 모듈리 체임을 확인한다.