[논문 리뷰] Algebraic cycles on the relative symmetric powers and on the relative Jacobian of a family of curves. II

B.J. Moonen, Alexander Polishchuk|ArXiv.org|2008. 05. 23.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 포인트리얀 곱 구조를 사용하여 곡선의 무한 상대 대칭 거듭제곱의 초하모닉 호모로지와 상대 잭비안의 초하모닉 호모로지 위의 PD다항식 대수 사이의 표준적 등장사상(canonical isomorphism)을 수립한다. 주요 결과는 $\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S) \cong \operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle$이며, 두 개의 서로 다른 등장사상이 클래스 $\psi$에 의해 다름을 보이며, 이는 승수-$$N$$ 사상의 작용과 호환되며 빈티유의 분해와는 다름을 보이는 새로운 $\operatorname{CH}_{*}(J/S)$에 대한 그레딩을 도입한다.

ABSTRACT

Let C be a curve over a non-singular base variety S. We study algebraic cycles on the symmetric powers C^[n] and on the Jacobian J. The Chow homology of C^[*], the sum of all C^[n], is a ring using the Pontryagin product. We prove that this ring is isomorphic to CH(J)[t], the PD-polynomial algebra (variable: u) over the usual polynomial ring (variable: t) over the Chow ring CH(J). We give two such isomorphisms that over a general base are different. Further we give some precise results on how CH(J) sits embedded in CH(C^[*]) and we give an explicit geometric description of how the derivations with regard to t and u act. Our results give rise to a new grading on the Chow ring of the Jacobian. After tensoring with Q the associated descending filtration coincides with the one coming from Beauville's decomposition. The grading we obtain is in general different from Beauville's. Finally we give a version of our main result for tautological classes, and we show how our methods give a very simple and geometric proof of some relations obtained by Herbaut and van der Geer-Kouvidakis.

연구 동기 및 목표

• 기저 $$S$$ 위의 곡선 가족에 대한 상대 대칭 거듭제곱 $$C^{[n]}$$ 과 상대 잭비안 $$J$$ 의 대수적 사이클의 구조를 이해하는 것.
• 무한 대칭 거듭제곱 $$C^{[\bullet]}$$ 과 잭비안의 초하모닉 호모로지 위의 PD다항식 대수 사이의 링 등장사상 수립.
• 승수-$$N$$ 사상의 작용에 대해 안정적이고 빈티유의 분해와 다른 $$\operatorname{CH}_{*}(J/S)$$ 에 대한 새로운 그레딩을 도입하는 것.
• 과거에 코homological 또는 푸리에-쌍대성 방법으로 확보된 타우토로지적 관계에 대해 기하학적 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 포인트리얀 곱을 사용하여 $$\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$$ 에 이중중량 링 구조를 도입하는 것.
• 서로 다른 두 등장사상 $$\tilde{\beta}, \tilde{\gamma}: \operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle \xrightarrow{\sim} \operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$$ 의 구성으로, 이는 클래스 $$\psi = p_0^*K$$ 에 의해 다름을 보이며, 여기서 $$K$$ 는 상대 캐논리컬 클래스이다.
• 제1부에서 정의된 기하학적 연산자 $$P_{i,j}(a)$$ 를 통해 $$\partial_t^{[m]}$$ 과 $$\partial_u$$ 의 작용을 기하학적으로 명시적으로 묘사하는 것.
• 기저 $$S$$ 위의 초모티프의 인도 카테고리에서 모티빅 해석을 위해 마니ン 원리(Ma in principle)를 적용하여 $$R_*(J/S)[\mathbf{1}]\langle\mathbf{1}(1)\rangle \cong R_*(C^{[\bullet]}/S)$$ 를 도출하는 것.
• 관련 아이디얼의 PD-구조와의 호환성을 증명하기 위해, $$\psi$$- torsion 이 제어 가능하고, smooth quasi-projective 기저의 맥락에서 PD-구조가 자연스럽다는 사실을 이용하는 것.
• 대칭 함수와 뉴턴 항등식을 사용하여 선형계 조건 하에서 $$\operatorname{CH}_0(C^{[N]})_{\mathbb{Q}}$$ 와 $$\operatorname{CH}_0(J)_{\mathbb{Q}}$$ 에서의 퇴적 결과를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포인트리얀 곱에 의한 링으로서의 무한 상대 대칭 거듭제곱 $$C^{[\bullet]}$$ 의 초하모닉 호모로지의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 상대 잭비안 $$J$$ 와 대칭 거듭제곱 $$C^{[n]}$$ 의 초하모닉 호모로지 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 승수-$$N$$ 사상의 작용에 대해 안정적이고 빈티유의 분해와 다른 $$\operatorname{CH}_{*}(J/S)$$ 에 대한 새로운 그레딩을 정의할 수 있는가?
• RQ4 $$\partial_t^{[m]}$$ 과 $$\partial_u$$ 는 초하모닉 호모로지에 어떻게 작용하며, 그 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ5 헤르보의 타우토로지적 관계와 반 데르 게어–쿠비다키스의 결과는 기하학적·모티빅 방법으로 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 초하모닉 호모로지 $$\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$$ 는 정수 계수를 가지며 PD-구조와 호환되는, $$t$$ 에 대한 다항식 대수와 $$u$$ 에 대한 PD다항식 대수를 포함하는 $$\operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle$$ 와 등장사상이 성립한다.
• 서로 다른 두 등장사상 $$\tilde{\beta}, \tilde{\gamma}$$ 가 존재하여 $$\operatorname{CH}_{*}(J/S)[t]\langle u\rangle$$ 에서 $$\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$$ 로의 등장사상이 되며, 이 둘은 일반적으로 0이 아닌 클래스 $$\psi = p_0^*K$$ 에 의해 다름을 보인다.
• $$\operatorname{CH}_{*}(J/S)$$ 의 $$\operatorname{CH}_{*}(C^{[\bullet]}/S)$$ 로의 통합은 표준적이지 않으며, 이는 상대 캐논리컬 클래스와 관련된 기하학적 모호성에 기인한다.
• 모든 $$[N]_*$$ 사상의 작용에 대해 안정적인 내림차순 필터링을 가지며, $$\mathbb{Q}$$ 와의 텐서곱을 거친 후 $$m$$-번째 그레딩 조각에서 $$[N]_*$$ 는 곱셈 $$N^m$$ 으로 작용하는 새로운 그레딩이 정의된다.
• 이 새로운 그레딩은 빈티유의 분해와 다름을 보이며, 두 분해는 푸리에 쌍대성에 의해 연결된다.
• 논문은 허보와 반 데르 게어–쿠비다키스의 타우토로지적 관계에 대해 기하학적 증명을 제공하며, $$C$$ 가 $$k$$ 위에서 $$g^r_d$$ 를 가지며 $$N > d$$ 라면 $$A_*(J)_{\mathbb{Q}}$$ 에서 $$\sum_{n_1+\cdots+n_r=N} (n_1-1)!\cdots(n_r-1)! \cdot \mathrm{cw}_{n_1}(C)*\cdots*\mathrm{cw}_{n_r}(C) = 0$$ 이 성립함을 보인다.