[논문 리뷰] Algebraic formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic weak Maass forms

Jan Hendrik Bruinier, Ken Ono|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 06.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $-2$의 무게를 가진 약한 마스형 양식에서 유도된 심도 이론을 통해, 무게 $-1/2$의 조화 약한 마스형 양식의 특이 모듈러스의 트레이스 합으로서 분할 함수 $ p(n) $에 대한 유한한 대수적 공식을 수립한다. 계수 $ p(n) $는 판별식 $-24n+1$의 고유환원체 필드에 속하는 대수적 수들의 유리 함수로 표현되며, 모듈러 형식과 특이 모듈러스를 포함한 명시적 공식을 제공함으로써 라데마처의 정확한 공식에 대한 새로운 대수적 해석을 제시한다.

ABSTRACT

We prove that the coefficients of certain weight -1/2 harmonic Maass forms are traces of singular moduli for weak Maass forms. To prove this theorem, we construct a theta lift from spaces of weight -2 harmonic weak Maass forms to spaces of weight -1/2 vector-valued harmonic weak Maass forms on Mp_2(Z), a result which is of independent interest. We then prove a general theorem which guarantees (with bounded denominator) when such Maass singular moduli are algebraic. As an example of these results, we derive a formula for the partition function p(n) as a finite sum of algebraic numbers which lie in the usual discriminant -24n+1 ring class field. We indicate how these results extend to general weights. In particular, we illustrate how one can compute theta lifts for general weights by making use of the Kudla-Millson kernel and Maass differential operators.

연구 동기 및 목표

• 무게 $-1/2$의 조화 약한 마스형 양식의 특이 모듈러스에서 유도된 대수적 수들의 유한합으로 분할 함수 $ p(n) $를 표현하는 것.
• 무게 $-2$의 조화 약한 마스형 양식에서 $\mathrm{Mp}_2(\mathbb{Z})$ 위의 무게 $-1/2$ 벡터값 형식으로의 심도 이론을 구성하는 것 — 독립적인 관심사가 있는 결과.
• 특이 모듈러스 $ P(\alpha_Q) $ 가 판별식 $-24n+1$의 고유환원체 필드 안에 있는 대수적 수임을 증명하고, 분모가 유계임을 보이는 것.
• 이러한 대수적 특이 모듈러스의 수치 근사치를 이용한 $ p(n) $ 계산을 위한 알고리즘적 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 에이젠스타인 급수와 디데킨드 에타 함수를 이용해 $ \Gamma_0(6) $ 위의 무게 $-2$의 유리형 모듈러 형식 $ F(z) $ 를 구성한다.
• 무게 0에서 변환되며 $ \Delta P = -2P $ 를 만족하는 $ F(z) $ 의 비해석적 도함수로 약한 마스형 양식 $ P(z) $ 를 정의한다.
• 심도 이론을 사용해 $ F(z) $ 를 무게 $-1/2$의 벡터값 조화 약한 마스형 양식으로 매핑함으로써, CM 점 $ \alpha_Q $ 에서의 특이 모듈러스 $ P(\alpha_Q) $ 를 구성한다.
• 집합 $ \mathcal{Q}_n $ 이란 $ \Gamma_0(6) $-동치류를 이루는 정부호 이차형식으로서 판별식 $-24n+1$ 이고 $ a \equiv 0 \pmod{6} $ 를 만족하는 것들로, $ \mathrm{Tr}(n) = \sum_{Q \in \mathcal{Q}_n} P(\alpha_Q) $ 를 정의한다.
• $ p(n) = \mathrm{Tr}(n)/(24n-1) $ 를 증명하고, $ 6(24n-1)P(\alpha_Q) $ 가 대수적 정수임을 보인다.
• 모듈러 성질과 푸리에 전개를 이용해 $ P(\alpha_Q) $ 가 판별식 $-24n+1$ 의 고유환원체 필드 안에 있으며, 다항식 $ H_n(x) $ 가 유리수 계수를 가짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ Q \in \mathcal{Q}_n $ 에 대해 $ (24n-1)P(\alpha_Q) $ 는 대수적 정수인가?
• RQ2 분할 다항식 $ H_n(x) = \prod_{Q \in \mathcal{Q}_n} (x - P(\alpha_Q)) $ 는 기약인가?
• RQ3 제로-즈라지어 공식과 유사한 형태로, $ H_n(x) $ 의 상수항에 대한 닫힌 표현식이 존재하는가?
• RQ4 특이 모듈러스 $ P(\alpha_Q) $ 는 라마누잔의 분할 합동식(모듈로 5, 7, 11)을 설명할 수 있는 특별한 합동성 성질을 만족하는가?

주요 결과

• 분할 함수 $ p(n) $ 는 정확히 $ \mathrm{Tr}(n)/(24n-1) $ 와 같으며, 여기서 $ \mathrm{Tr}(n) $ 는 판별식 $-24n+1$ 이고 $ a \equiv 0 \pmod{6} $ 를 만족하는 $ \Gamma_0(6) $-동치류를 이루는 정부호 이차형식의 $ P(\alpha_Q) $ 합이다.
• 값 $ P(\alpha_Q) $ 는 판별식 $-24n+1$ 의 고유환원체 필드 안에 있는 대수적 수이며, $ 6(24n-1)P(\alpha_Q) $ 는 대수적 정수이다.
• $ n=1 $ 일 때, 분할 다항식은 $ H_1(x) = x^3 - 23x^2 + \frac{3592}{23}x - 419 $ 이고, $ p(1) = 1 $ 이며 특이 모듈러스의 수치적 평가로 확인된다.
• $ n=2 $ 일 때, $ H_2(x) $ 는 차수 5이며 계수에 $ 47 $ 이 포함되며, $ (24n-1)p(n) = 94 $ 이고 다항식은 $ \mathbb{Q}[x] $ 에 속한다.
• $ n=3 $ 일 때, $ H_3(x) $ 는 차수 7이며 계수는 유리수이며, $ (24n-1)p(n) = 213 $ 이고 상수항은 $ \frac{2791651635293}{71^2} $ 이다.
• 이 방법은 대수적 특이 모듈러스의 수치 근사치를 이용해 $ p(n) $ 를 계산하는 새로운 알고리즘적 접근을 제공하며, $ H_n(x) $ 는 $ P(\alpha_Q) $ 의 전체 갈루아 궤도 구조를 암시한다.