[논문 리뷰] Algebraic-geometric matrix-free multigrid on dynamically adaptive Cartesian meshes.

Marion Weinzierl, Tobias Weinzierl|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다이나믹하게 적응 가능한 카르테시안 메쉬를 위한 행렬 기반 다중 격자 해소법을 제안하며, 스페이스타리어 구조에 대수적 다중 격자 연산자를 스텐실로 통합하여 명시적 행렬 조립 없이 효율적인 인-사이드 행렬-벡터 연산을 가능하게 한다. 기하학적 대응 연산자로부터의 차이로 연산자를 계층적으로 표현함으로써 낮은 메모리 오버헤드를 달성하고, 다중 척도 영역 분할을 통해 병렬 계산을 지원한다.

ABSTRACT

We introduce a family of spacetree-based multigrid solvers that do not maintain a matrix data structure and rely on the spacetree's multiscale nature to derive coarse grids. The most sophisticated solvers from the family pick up the concept of BoxMG, which defines operator-dependent prolongation and restriction in combination with (Petrov-)Galerkin coarse grid operators. It yields robust solvers for nontrivial elliptic problems. We propose to embed the algebraic, problem- and grid-dependent multigrid operators as stencils into the grids, to evaluate all matrix-vector products in-situ throughout grid traversals, and, thus, to avoid assembly overhead that is notably cumbersome for dynamically adaptive grids. While such an approach is not literally matrix-free---the grid carries the matrix---we propose switch to a hierarchical two-scale representation of all operators. Only differences of algebraic operators to their geometric counterparts are held. These hierarchical differences can be held and exchanged with small memory footprint. Our solvers support arbitrary dynamically adaptive grids and vertically integrate the multilevel operations through spacetree linearisation which yields good memory access characteristics, while standard colouring of mesh entities with a multiscale domain decomposition allow us to run the scheme on parallel computers.

연구 동기 및 목표

• 다이나믹하게 적응 가능한 카르테시안 격자에서 다중 격자 해소법의 행렬 조립 오버헤드를 제거하기 위해.
• 비정형 적응 격자에서 복잡한 타원형 문제에 대해 견고한 다중 격자 수렴성을 보장하기 위해.
• 다중 척도 영역 분할과 격자 선형화를 통해 효율적인 병렬 계산을 지원하기 위해.
• 기하학적 연산자로부터의 대수적 연산자 차이만 저장하여 메모리 사용량을 최소화하기 위해.
• 다중 수준 연산을 스페이스타리어 데이터 구조 내부에 원활하게 통합하기 위해.

제안 방법

• 해소법은 스페이스타리어를 사용하여 다중 격자 계층을 표현하며, 굵은 격자는 트리의 다중 척도 구조에서 유도된다.
• 행렬-벡터 곱은 격자 순회 중에 인-사이드로 계산되어 명시적 행렬 저장을 피한다.
• 대수적 연산자는 스텐실로 통합되고, 기하학적 연산자로부터의 차이로 계층적으로 표현된다.
• 해소법은 문제 및 격자 특성에 맞게 조정된 BoxMG 스타일의 보간 및 제약 연산자를 사용한다.
• 이중 척도 표현은 기하학적 연산자에 대한 대수적 보정만 저장하여 메모리 오버헤드를 감소시킨다.
• 표준 메쉬 요소 색칠과 스페이스타리어 선형화를 통해 메모리 접근을 코alescing함으로써 병렬 실행을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다이나믹하게 적응 가능한 카르테시안 메쉬에서 행렬 기반 다중 격자 연산을 행렬 조립 없이 효율적으로 구현할 수 있는가?
• RQ2 대수적 연산자의 계층적 표현이 해소법의 견고성을 유지하면서도 메모리 사용량을 줄일 수 있는가?
• RQ3 스페이스타리어 기반 다중 척도 구조는 견고한 굵은 격자 전이 연산자를 어떻게 지원하는가?
• RQ4 기존 조립 방식과 비교해 인-사이드 행렬-벡터 연산의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 다중 척도 영역 분할을 통해 병렬 아키텍처에서 효율적인 확장성이 확보될 수 있는가?

주요 결과

• 명시적 행렬 조립이 제거되어 다이나믹하게 적응 가능한 격자에서 오버헤드가 크게 감소한다.
• 대수적 연산자의 계층적 표현을 통해 기하학적 대응 연산자로부터의 차이만 저장함으로써 메모리 사용량이 감소한다.
• 문제 및 격자 특성에 맞는 보간 및 제약 연산자를 사용함으로써 비트리비얼한 타원형 문제에 대해 견고한 수렴을 달성한다.
• 스페이스타리어 선형화로 인해 좋은 메모리 접근 패턴이 확보되어 캐시 효율성이 향상된다.
• 스페이스타리어를 통한 다중 수준 연산의 수직 통합은 효율적인 병렬 실행을 지원한다.
• 다중 척도 영역 분할과 요소 색칠을 통해 병렬 컴퓨터에서 확장 가능한 성능을 달성할 수 있다.