[논문 리뷰] Algebraic groups over the field with one element

Oliver Lorscheid|ArXiv.org|2009. 07. 22.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 6인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 토리피케이션과 강한 사상들을 사용하여 $ℝ_1$-스킴의 범주를 도입함으로써, $ℝ_1$ 위의 대수적 군에 대한 프레임워크를 수립한다. 이는 티츠의 철학을 실현하며, 분할 재데크티브 군들, 특히 $ℝ(n)$가 $ℝ_1$로 내림내림되며, 그 $ℝ_1$-유리점들이 웨일 군과 대응됨을 보여준다. 또한 그라스만يان과 슈부르트 다양체는 그들의 $ℝ_1$-유리점들이 대칭군의 몫과 일치하는 조합론적 수를 가지는 $ℝ_1$-스킴으로 모델링된다.

ABSTRACT

Remarks in a paper by Jacques Tits from 1956 led to a philosophy how a theory of split reductive groups over $\F_1$, the so-called field with one element, should look like. Namely, every split reductive group over $\Z$ should descend to $\F_1$, and its group of $\F_1$-rational points should be its Weyl group. We connect the notion of a torified variety to the notion of $\F_1$-schemes as introduced by Connes and Consani. This yields models of toric varieties, Schubert varieties and split reductive groups as $\Fun$-schemes. We endow the class of $\F_1$-schemes with two classes of morphisms, one leading to a satisfying notion of $\F_1$-rational points, the other leading to the notion of an algebraic group over $\F_1$ such that every split reductive group is defined as an algebraic group over $\F_1$. Furthermore, we show that certain combinatorics that are expected from parabolic subgroups of $\GL(n)$ and Grassmann varieties are realized in this theory.

연구 동기 및 목표

• 1956년 자크 티츠의 철학을 실현하기 위해, $ℝ$ 위의 분할 재데크티브 군들이 $ℝ_1$로 내림내림되며, 그 $ℝ_1$-유리점들이 그들의 웨일 군이 되도록 하는 것.
• $\mathbb{Z}$로의 기본 확장을 고려할 수 있는 $ℝ_1$-스킴의 범주를 구성하여, $ℝ^1$-유리점이 $ℝ^1$-스킴들인 $ℝ^n$, $ℝ^{n-1}$, $ℝ(k,n)$의 기대되는 조합론적 집합과 일치하도록 하는 것.
• $ℝ_1$-스킴에서 두 가지 유형의 사상, 즉 올바른 $ℝ_1$-유리점 수를 보장하는 사상과 대수적 군을 정의할 수 있도록 해주는 사상,를 정의하는 것.
• 그라스만يان과 슈부르트 다양체가 $ℝ_1$-스킴으로서의 모델을 가지며, 그들의 $ℝ_1$-유리점들이 대칭군의 조합론적 몫과 일치함을 보여주는 것.
• $ℝ(n)$의 자연스러운 작용이 $ℝ_1$-유리점들을 취한 후 $S_n$이 $M_{k,n}$ 위에 작용하는 것으로 확장될 수 있도록, $ℝ_1$-스킴들 간의 호환성 있는 작용을 확보하는 것.

제안 방법

• $\mathbb{F}_1$-스킴의 범주를 토리피케이션된 다양체를 통해 도입하며, 여기서 스킴는 그를 이루는 토리들로의 분해를 정교화하는 토리피케이션 $e_X$를 갖춘다.
• 강한 사상은 토리피케이션과 $\mathbb{Z}$로의 기본 확장을 공유하는 두 매핑 $(\tilde{f}, f)$의 쌍으로 정의된다.
• $\mathrm{GL}(n)$, 포물형 부분군, 그라스만يان에 대해 각각 $\mathbb{Z}$-모델과 호환되는 토리피케이션을 사용하여 $\mathbb{F}_1$-스킴 $\mathcal{G}$, $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}$를 구성한다.
• 브루아 분해와 슈부르트 세포 분해를 사용하여 $\mathrm{Gr}(k,n)$에 토리피케이션을 정의하며, 0차원 토리들은 $T$-고정점을 대응시킨다.
• $\mathcal{G}$, $\mathcal{P}$, $\mathcal{Q}$의 $\mathbb{F}_1$-유리점들이 각각 $S_n$, $S_k \times S_{n-k}$, $S_n / (S_k \times S_{n-k})$와 동형임을 보여준다.
• $\mathcal{G}$가 $\mathcal{Q}$에 작용하는 것은 $\mathbb{F}_1$-유리점들을 취한 후 자연스러운 $S_n$의 $M_{k,n}$ 위 작용으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 재데크티브 군들인 $\mathrm{GL}(n)$이 $\mathbb{F}_1$ 위의 대수적 군으로 정의될 수 있으며, 그 $\mathbb{F}_1$-유리점들이 그들의 웨일 군이 되는가?
• RQ2 그라스만ian $\mathrm{Gr}(k,n)$이 $\mathbb{F}_1$-스킴 모델을 가지며, $\mathcal{Q}(\mathbb{F}_1) \simeq M_{k,n}$, 즉 $\{1,\dots,n\}$의 $k$-원소 부분집합의 집합이 되는가?
• RQ3 $\mathbb{F}_1$-스킴들 사이의 작용 $\mathcal{G} \times \mathcal{Q} \to \mathcal{Q}$가 표준적인 $S_n$의 $M_{k,n}$ 위 작용을 유도하는가?
• RQ4 포물형 부분군과 슈부르트 다양체의 조합론적 성질들이 토리피케이션과 강한 사상들을 통해 $\mathbb{F}_1$-스킴 프레임워크 안에서 실현될 수 있는가?
• RQ5 $\mathbb{F}_1$-스킴들의 기본 확장이 원래의 $\mathbb{Z}$-스킴들을 복원하는가, 예를 들어 $\mathcal{G}_{\mathbb{Z}} \simeq \mathrm{GL}(n)$ 및 $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}} \simeq \mathrm{Gr}(k,n)$인가?

주요 결과

• $\mathrm{GL}(n)$에 대한 $\mathbb{F}_1$-스킴 $\mathcal{G}$의 $\mathbb{F}_1$-유리점들은 웨일 군 $S_n$과 동형이며, 이는 티츠의 추측을 실현한다.
• $\mathrm{Gr}(k,n)$에 대한 $\mathbb{F}_1$-스킴 $\mathcal{Q}$는 $\mathcal{Q}(\mathbb{F}_1) \simeq M_{k,n}$를 만족하며, 이는 $\{1,\dots,n\}$의 $k$-원소 부분집합의 집합으로, 기대되는 수 $\binom{n}{k}$와 일치한다.
• $\mathcal{G} \times \mathcal{Q} \to \mathcal{Q}$의 작용은 인덱스를 순열함으로써 자연스러운 작용 $S_n \times M_{k,n} \to M_{k,n}$을 유도하며, $\mathbb{Z}$-작용과 호환됨을 확인한다.
• $\mathcal{Q}$는 $\mathcal{P} \times \mathcal{G} \to \mathcal{G}$의 작용에 의한 몫으로 구성되며, $\mathcal{P}$는 포물형 부분군에 대응한다.
• $\mathcal{G}_{\mathbb{Z}}$는 $\mathrm{GL}(n)$과 동형이며, $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$는 $\mathrm{Gr}(k,n)$과 동형이며, 이는 올바른 기하학적 실현임을 확인한다.
• 슈부르트 세포를 통한 $\mathrm{Gr}(k,n)$의 토리피케이션은 $\mathbb{F}_1$-유리점들이 0차원 토리들에서 유래되며, 이는 $S_n / (S_k \times S_{n-k})$의 조합론적 구조와 일치한다.