[논문 리뷰] Algebraic higher symmetries and non-invertible anomaly in symmetry-breaking and topological phase transitions

Wenjie Ji, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 31.

Atomic and Subatomic Physics Research인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 대칭성 깨짐 및 위상적 상전이의 임계점에 대한 통합 프레임워크로, 전역 대칭성과 그 이중 고차 대칭성을 조합한 카테고리 대칭성을 제안한다. $n$차원 시스템에서 유한 대칭성 $G$를 가진 임계점은 이중 $(n-1)$-대칭성을 지니며, 이는 임계점에서 부분적으로 자발 대칭성 깨짐이 발생하더라도 여전히 유지되는 카테고리 대칭성을 형성한다.

ABSTRACT

For a zero-temperature Landau symmetry breaking transition in $n$-dimensional space that completely breaks a finite symmetry $G$, the critical point at the transition has the symmetry $G$. In this paper, we show that the critical point also has a dual symmetry - a $(n-1)$-symmetry described by a higher group when $G$ is Abelian or an algebraic $(n-1)$-symmetry beyond higher group when $G$ is non-Abelian. In fact, any $G$-symmetric system can be viewed as a boundary of $G$-gauge theory in one higher dimension. The conservation of gauge charge and gauge flux in the bulk $G$-gauge theory gives rise to the symmetry and the dual symmetry respectively. So any $G$-symmetric system actually has a larger symmetry called categorical symmetry, which is a combination of the symmetry and the dual symmetry. However, part (and only part) of the categorical symmetry must be spontaneously broken in any gapped phase of the system, but there exists a gapless state where the categorical symmetry is not spontaneously broken. Such a gapless state corresponds to the usual critical point of Landau symmetry breaking transition. The above results remain valid even if we expand the notion of symmetry to include higher symmetries and algebraic higher symmetries. Thus our result also applies to critical points for transitions between topological phases of matter. In particular, we show that there can be several critical points for the transition from the 3+1D $Z_2$ gauge theory to a trivial phase. The critical point from Higgs condensation has a categorical symmetry formed by a $Z_2$ 0-symmetry and its dual - a $Z_2$ 2-symmetry, while the critical point of the confinement transition has a categorical symmetry formed by a $Z_2$ 1-symmetry and its dual - another $Z_2$ 1-symmetry.

연구 동기 및 목표

• 유한 대칭성 $G$를 가진 시스템에서의 영온도 상전이 임계점의 숨겨진 대칭성 구조를 이해하기 위해.
• 한 차원 높은 곳에서의 밀도 게이지 이론으로부터 유도되는 이중 대칭성—특히 $(n-1)$-대칭성—의 역할을 규명하기 위해.
• 기존의 대칭성과 고차 군을 넘어서 비아벨 경우에 대한 대수적 고차 대칭성을 포함하는 대칭성의 개념을 확장하기 위해.
• 가역한 상에서 카테고리 대칭성의 일부만 자발 대칭성 깨짐을 겪는 반면, 임계점에서는 전체 대칭성이 유지된다는 것을 입증하기 위해.
• 예를 들어 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론에서 비자명한 상으로의 전이를 포함한 위상적 상 전이에 이 프레임워크를 일반화하기 위해.

제안 방법

• $n$차원에서 $G$-대칭성을 가진 시스템을 $n+1$차원에서의 $G$-게이지 이론의 경계로 매핑하기.
• 체계의 내부에서 게이지 전하와 게이지 플럭스의 보존 법칙을 이용해 원래의 $G$-대칭성과 그 이중 $(n-1)$-대칭성을 유도하기.
• 원래 대칭성과 이중 대칭성을 통합한 카테고리 대칭성으로서의 수학적 형식화.
• 자발 대칭성 깨짐 패턴 분석: 가역한 상에서는 카테고리 대칭성의 일부만 깨지지만, 임계점에서는 전체 대칭성이 유지된다.
• 특정 예시에 이 프레임워크를 적용하기—예를 들어 3+1D에서의 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론을 활용해 힉스 전이와 고립 전이를 구분하기.
• 예를 들어 힉스 전이에서는 $\mathbb{Z}_2$ 0-대칭성과 그 이중 $\mathbb{Z}_2$ 2-대칭성이, 고립 전이에서는 두 개의 $\mathbb{Z}_2$ 1-대칭성이 존재하는 등, 임계점 간의 카테고리 대칭성 구조의 차이를 구분하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 대칭성 $G$를 가진 $n$차원 시스템에서의 랑당 대칭성 깨짐 전이의 임계점에서의 숨겨진 대칭성의 성격은 무엇인가?
• RQ2 한 차원 더 높은 곳에서의 밀도 게이지 이론에서 유도되는 이중 대칭성—특히 $(n-1)$-대칭성—은 어떻게 유도되는가?
• RQ3 원래 대칭성과 이중 대칭성이 결합되어 카테고리 대칭성을 형성하는 방식은 무엇이며, 이는 임계점에서 왜 유지되는가?
• RQ4 이 프레임워크는 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론에서 비자명한 상으로의 전이와 같은 위상적 상 전이로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 힉스 응집 전이와 고립 전이의 임계점은 카테고리 대칭성 구조 측면에서 어떻게 구별되는가?

주요 결과

• 유한 대칭성 $G$를 가진 $n$차원 랑당 대칭성 깨짐 전이의 임계점은 이중 $(n-1)$-대칭성을 지니며, $G$가 아벨일 경우 고차 군이 되고, $G$가 비아벨일 경우 대수적 고차 대칭성이 된다.
• 원래 $G$-대칭성과 그 이중 대칭성을 통합한 전체 카테고리 대칭성은, 가역한 상에서 일부가 자발 대칭성 깨짐을 겪더라도 임계점에서 여전히 유지된다.
• 임계점은 전체 카테고리 대칭성이 보존되는 비가역 상태이며, 이는 임계성의 통합적 기술을 제공한다.
• 3+1D에서의 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론에서 비자명한 상으로의 전이에는 두 개의 서로 다른 임계점이 존재한다: 힉스 응집 전이에서는 $\mathbb{Z}_2$ 0-대칭성과 그 이중 $\mathbb{Z}_2$ 2-대칭성이 존재한다.
• 고립 전이의 임계점은 두 개의 $\mathbb{Z}_2$ 1-대칭성이 조합된 카테고리 대칭성을 지니며, 이는 힉스 전이와 다른 대칭성 구조를 나타낸다.
• 이 프레임워크는 기존 대칭성의 범위를 넘어서 대수적 고차 대칭성을 포함하며, 비아벨 $G$를 가진 모든 $G$-대칭성 시스템에 대해 카테고리 대칭성의 구조가 적용됨을 보여준다.