[논문 리뷰] Algebraic Kan extensions in double categories

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 정규 옵라크 이중 모나드에 대한 이중 카테고리에서의 대수에 대해 忘却 함자에 沿한 점별 칸 확장이 언제나 가능할지에 대한 조건을 설정한다. 이는 Getzler의 대칭 모나드 칸 확장에 대한 결과를 일반화한 것으로, 이중 카테고리에서의 대수적 칸 확장이라는 통합적 프레임워크를 사용하여, 점별 왼쪽 정확성 및 코한계와의 호환성과 같은 구조적 조건을 만족할 경우 이러한 확장의 존재를 증명한다. 응용 사례로는 코통계적 코모노이드 위에 생성된 자유 이중구성 허프 모노이드의 존재가 포함된다.

ABSTRACT

We study Kan extensions in three weakenings of the Eilenberg-Moore double category associated to a double monad, that was introduced by Grandis and Paré. To be precise, given a normal oplax double monad $T$ on a double category $\mathcal K$, we consider the double categories consisting of pseudo $T$-algebras, `weak' vertical $T$-morphisms, horizontal $T$-morphisms and $T$-cells, where `weak' means either `lax', `colax' or `pseudo'. Denoting these double categories by $\mathsf{Alg}_w T$, where w = l, c or ps accordingly, our main result gives, in each of these cases, conditions ensuring that (pointwise) Kan extensions can be lifted along the forgetful double functor $\mathsf{Alg}_w T o \mathcal K$. As an application we recover and generalise a result by Getzler, on the lifting of pointwise left Kan extensions along symmetric monoidal enriched functors. As an application of Getzler's result we prove, in suitable symmetric monoidal categories, the existence of bicommutative Hopf monoids that are freely generated by cocommutative comonoids.

연구 동기 및 목표

• Getzler의 대칭 모나드 칸 확장에 대한 결과를 더 넓은 범위의 이중 카테고리에서의 대수적 칸 확장으로 일반화하는 것.
• 기본 이중 카테고리 K로의 이중 함자에 의한 약한 T-대수의 이중 카테고리에서의 점별 왼쪽 칸 확장을 올리는 데 필요한 충분조건을 설정하는 것.
• 코통계적 코모노이드 위에 생성된 자유 이중구성 허프 모노이드의 존재를 증명하는 것. 이는 대칭 모나드 카테고리에서 코한계를 가진 경우에 해당한다.
• 이중 카테고리적 구조를 통해 풍부화된 환경과 모나드적 맥락에서의 칸 확장을 통합적으로 다루는 것.

제안 방법

• 퍼즈 T-대수의 이중 카테고리, 약한 수직 T-사상(라크, 코라크, 또는 페시브), 수평 T-사상 사용.
• Algw(T)에서 K로의 忘却 이중 함자 도입. 여기서 Algw(T)는 약한 T-대수와 약한 T-사상의 이중 카테고리이다.
• 이중 카테고리에서의 대수적 칸 확장의 개념을 적용하여, 2-카테고리에서의 점별 칸 확장의 일반화를 수행.
• 칸 확장의 올림을 검증하기 위한 핵심 기술적 도구로 왼쪽 베크-체발리 조건을 활용.
• 확장 성질을 분석하기 위해 수평 사상의 탭류레이션과 제약 조건을 사용.
• 대수들이 대칭 모나드 카테고리인 이중 모나드에 응용하여, Getzler의 결과를 복구하고 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 옵라크 이중 모나드 T가 이중 카테고리 K 위에 작용할 때, Algw(T)에서 K로의 忘却 이중 함자에 의한 점별 왼쪽 칸 확장이 언제나 가능할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 목표 카테고리 M의 구조는 코통계적 코모노이드 위에 생성된 자유 이중구성 허프 모노이드의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이중 모나드 T의 점별 왼쪽 정확성은 칸 확장의 올림을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 조건 (p) — 즉, M의 대수적 구조가 점별 왼쪽 칸 확장을 보존한다는 것 — 은 코라크 경우에 확장의 올림을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 주요 정리의 수평 쌍대성은 어떻게 Getzler의 대칭 모나드 칸 확장 결과를 일반화하는가?

주요 결과

• 주요 결과로, 코라크 약한 사상의 경우 조건 (e) — J의 구조 셀에 대한 점별 왼쪽 d-정확성 — 이 忘却 함자가 점별 왼쪽 칸 확장을 올린다는 것을 증명한다.
• 라크 약한 사상의 경우 조건 (p) — M의 대수적 구조가 점별 왼쪽 칸 확장을 보존한다는 것 — 이 칸 확장의 올림을 암시한다.
• 페시브 경우, 조건 (p), (e), (l) 중 두 개가 만족되면 나머지 하나도 자동으로 성립함을 보여, 대수적 구조, 정확성, 올림 간의 일관된 상호작용을 입증한다.
• 코통계적 대칭 모나드 카테고리 M에서 텐서 곱이 각 변수에서 코한계를 보존하는 경우, 비편향 이중구성 허프 모노이드에서 코통계적 코모노이드로의 忘却 함자가 왼쪽 수반을 가짐을 증명한다.
• 이 수반성은 주요 정리가 이중 모노이드 H(이중구성 허프 모노이드의 프로퍼)에 적용되었을 때, 코통계적 코모노이드 위에 생성된 자유 이중구성 허프 모노이드의 존재를 암시한다.
• 함수 j: F^op → H의 왼쪽 베크-체발리 조건의 증명은 행렬 분해를 통해 수행되며, 이는 H의 모든 사상이 F^op과 블록 행렬을 통해 유일하게 인수분해됨을 보여준다.